【官方双语】拉普拉斯变换（二）：到底什么是拉普拉斯变换？

理科生只需要推导这么多定理就行了，而我们工科生使用的时候考虑的就多了，约算子、换符号顺序、大概估计、应该可以，这些都是很费脑子的[doge]

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工科生最喜欢的一集，自控用这么长时间了拉氏变换的底层原理还是不清楚[灵魂出窍]

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3B1B的视频我至少会看两遍，第一遍是刚出的时候，第二遍是下一集刚出的时候[笑哭]

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其实不管是把函数分解成三角函数还是指数函数（亦或者是贝塞尔函数或者勒让德多项式亦或者是其他什么乱七八糟的玩意），他们最底层的数学逻辑都是相似的， 即，利用这些函数簇彼此之间的正交性（在某个积分下，某一个函数簇中只有两个“特征值”相同的函数相乘之后积分的结果才不为0，或者先乘上一个辅助函数，或者把函数变化为某一确定形式例如在拉普拉斯变换中取倒数）、完备性（符合某些调节的任意函数都可以被分解为这些函数的和）、线性（……就是，线性）等性质，来把函数分解成目标函数簇中的一系列函数的和（分解的方法就是作积分，或者说从线性代数的角度来说，与基向量作内积），然后利用这些函数本身的性质（最常见的就是这些函数满足某个特定形式的微分方程）来做一些事情。 从线性代数的角度讲，就是对某个线性空间（对函数来说，这个空间是无穷多维的）中的矢量（也就是函数）作变基，用这些归一化正交基（就是所使用的函数簇，例如指数函数、勒让德多项式，等等）来表示函数，通过作内积从而求出关于基向量的分量（从这个角度来说，积分的时候乘的辅助函数在线性代数的内积中对应的定义是一个正定方阵）。从某种意义上，整个数理方程这一门课在讲的就是这一回事（起码我上的是这样的）

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这教程太好了，常规的教程都从傅里叶变换硬强行推广，告诉你某些函数不满足狄利克雷收敛定理，然后乘以一个指数函数来强行衰减，为了衰减而衰减，完全讲不出道理，我现在的理解，傅里叶变换和拉普拉斯变换只是形式相同，但是用处完全不同，一个分解信号，另一个解微分方程，传统教材把傅里叶变换强行推广的做法很容易让学生以为拉普拉斯变换也是用来分解信号的，太害人了[大哭]

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拉氏变换为线性系统提供了非常好的度量，将一个系统变成一个函数，而且往往还能收敛。想象一下一个果园，里面有无穷个果子，有坏掉的果子和好果子（非线性系统和线性系统），坏掉的个数是好果子的无穷倍，但是你的篮子（拉氏变换）能直接拿走所有的好果子不碰坏果子，而且假如你拿的篮子太小，它自动帮你装所有好果子里最好的一批（收敛性）

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很好，看完了，而且还把祖师爷的倒立摆视频复习了一遍[微笑]

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从初一看到大四[少女乐团派对_开心]现在变考研休息区了 考信号与系统的进来看看

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我就知道时域乘积等于频域卷积和待定系数法，请问我学会拉普拉斯变换了吗[doge]

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虽然我不会推导这些东西，但是不妨碍我看完视频以后感觉仿佛啥都明白了[吃瓜]

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信号与系统里面e^st最重要和关键的性质在于，它是线性时不变系统的本征函数（即，经过一个时间移动后，它是本身的倍数；求导积分也可以看成是微小时间移动之后相减/求和的过程，因此e^st求导积分之后也是本身的倍数），这一点就使得我们把任何x(t)分解到e^st上之后，其每个分量e^st经过任何线性时不变系统之后，只是乘上了一个与s有关的数H(s)。H(s)就叫做系统函数。比如x(t) = e^(at) + e^(bt)，那么y(t) = H(a)e^(at) + H(b)e^(bt)。x(t)与y(t)没有直接的倍数关系，但其每个e^st分量都在y(t)中有直接倍数关系。

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我喜欢数学，但是我只喜欢看数学，不喜欢玩数学。数学真是我认知当中最吃天分的学科。你一辈子的努力只是天才的一个晚上[笑哭]

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后天就要考信号的研了，现在看这个女娲补天还有用吗[大哭][大哭][大哭]

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这个图像应该是四维图像吧，几个元电荷这样放，平面为空间z轴为电场强度也能画出这样的图像，他们之间有什么关系吗（）[Ave Mujica_怎么突然]

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学完表示论总算知道朗兰兹纲领里为什么傅里叶变换能和群论扯上关系了[笑哭]

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拉氏变换的极点还有一个好处 表达式不会有一堆冲激函数 傅里叶变换就冲激函数一堆 用不到的时候纯折磨人

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刚学到拉普拉斯变换，3b1b就更新了[给心心][给心心][给心心][喜欢]

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看完了，竟然出现了解析拓延，害得我又把8年前的视频翻出来再看了一遍[笑哭] https://www.bilibili.com/video/BV1tx411y7VG

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当时学的时候一头雾水，只知道可以这么用，伟大的3b1b，解答多年疑惑[笑哭]

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我觉得得说到“指数函数exp(st)是微分算子在t表象下的形式”才触及到更本质的东西，而不只是引入一句“很多方程的解都是指数函数的组合”。实际上这句话就是在循环论证，其实更本质的，由于指数函数是微分算子的特征函数，那么这句话就等价于“很多微分方程由微分算子线性构成”。这在泰勒展开的观点下就是一句废话，因为即使大自然的构造是微分算子的非线性构成，那么这个构成也可以取泰勒展开得到前几阶线性近似，得到由线性微分算子构建的唯象方程，进而解都是指数函数组合而来的。 https://zhuanlan.zhihu.com/p/722103291?share_code=lhg7u8BmbpoO&utm_psn=1984814474104955743

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