_不夜_ 2022-12-14 UP给出了一个很好的解释，但是并不严谨。UP的这个问题其实有一种更浅显易懂的解答方式，既不用设定特定的概率阈值，也很好的解释了那些数学公式是如何引入的。 1，首先对于N维空间的任意单位向量X(x1,x2,...,xn)和X'(x1',x2',...,xn')，我们有： x1^2+x2^2+…+xn^2=1 另一个同理，手机打符号真的很费劲我就不写了。 2，我们考察两个向量的内积： x1x1'+x2x2'+…+xnxn' 我们要证的是这个内积几乎为零。 3，对任意向量X和X'，我们总能通过一组正交变换S使得XS为轴向单位向量（1,0,0,…,0），说人话就是我们可以把一个向量取在轴上，然后随机取另一个向量，而不影响这个问题的自由度。 4，现在内积X·X'=x1'，我们要证它几乎为零 5，什么叫几乎垂直？Up引入了一个阈值区间来说明这个问题，但是现在我们有了一个更加明确的数学概念，那就是当空间维度趋于无穷时，x1'为零的概率收敛到1，即： n→∞时，P(x1'=0)→1 6，UP做了一个很好的铺垫，即x1^2+x2^2+…+xn^2=1的所有可能情况，其实均匀分布在一个n维单位球面上，同理，当x1=0时，x2^2+…+xn^2=1的所有可能情况均匀分布于一个n-1维单位球面上，P(x1'=0)即二者的面积之比： P(x1'=0)=S(n-1)/S(n) 7，n维球面的面积公式并不显然，它是一个n重积分，以Gamma函数的形式给出，然后回到了Up的表达式。 UP你觉得我这么说，是不是更严谨一些？[滑稽][滑稽][滑稽][滑稽] ♥ 244 ↩ 15
最后的馒头 2022-12-13 二维概率本质是面积比，三维概率本质是体积比；而三维图像本质是二维图像的旋转。 由于对称，仅需考虑四分之一的二维图像，以及将其旋转极小角度的三维图像。 将二维图像微分为小扇形（小三角），三维图像即微分为小四棱锥，但由于我们在二维图像知道的是其侧面积，故将其沿底面矩形对角线等分为2个等体积的三棱锥。 故小四棱锥体积之比=小三棱锥体积之比=高之比=边缘划过距离之比=各角度cos值之比。 故三维概率=cos（0~2.5°）的积分/cos（0~90°）的积分[脱单doge] ♥ 152 ↩ 12
秋阳悠月 2022-12-13 稍微严谨地说，设Xn为随机变量，表示n维空间中，以等概率取任意两个向量时这两个向量的夹角，则随机变量序列{Xn}依概率1收敛于X=pi/2。从这个意义上说，“几乎”这个词很合适，因为概率最大是1，所以这个收敛应该可以强化为“几乎”一致收敛。 ♥ 45 ↩ 2
Ariaus 2022-12-13 感觉有点像我最近刚学完的线代里关于垂直投影的东西[思考]。不得不说up主关于概率的计算确实很精彩，像我一样数学不好的也就只能干瞪眼了[笑哭]。以下为一些计算机专业本科生视角的个人见解（从纬度出发）： 假设W为R^n的子空间，则垂直于W的W'也是R^n的子空间。（这个学过线代的应该都有看到过吧）从而可以证明dim(W)+dim(W’)=n。（证明涉及rank-nullity theorem和column and row space。篇幅有限就不证了）。也就是说这两个正交的空间的维度之和为他们父空间的总维度。如果把一开始选定的向量定为空间W的基向量，则： 1.在R^1 一维空间内，除了0向量外没有正交 2.在R^2中与W正交的W'的维度为1，也就是一条线。可从W'中选的向量无非就是cv，c属于任意实数，v为W'的基向量 3.在R^3中，W'的维度被扩展到了2。能选的向量随之增多，因为不光拉伸、反转单独的一个基向量可以得到垂直的向量外，还能将两个基向量相加 4. 以此类推 当维度接近R^n时，W'的维度也来到了n-1维。所以才出现了概率增加的现象，不过出于我个人拙劣的数学功底，无法证明当n趋于无限时，任意两个向量正交的概率趋于1。同时我也感觉这个概率并非随着维度增加线性增长 ♥ 28 ↩ 3
eigenstate 2022-12-15 2维平面中，和A向量正交的向量落在与A垂直的直线上；3维空间，中和A正交的向量落在与A垂直的平面内；N维空间中，和A正交的向量落在和A垂直的N-1维空间内。 ♥ 16
菖蒲呆住 2022-12-13 这里的随机是不是应该更加明确地定义一下？这里应该指的是角度随机幅值不所谓，如果把随机的定义改成向量中各个分量随机，是不是结果就不同了[2233娘_大笑][打call] ♥ 15 ↩ 2
AAA软硬件批发 2022-12-21 这个up在视频40秒时出现了致命错误，图像，点云本身是二维与三维。但是在深度学习的输入部分，将这些转化为输入向量时，那个输入向量是高纬度的，且纬度有限，非无穷的。 ♥ 7 ↩ 1
Sirius0_0 2022-12-13 有没有可能通过正交（或接近正交）的内积来说明[思考]。 即先将两个向量写成k*单位向量的形式，然后正面两个单位向量的内积趋于0。因为完全随机的向量分量，随着向量纬度增加，越来越难以在某个分量上具有很高的相关性（即乘积足够大）。例如二维空间，只考虑每个纬度为非负整数的单位向量，对于（1，0）。另一个向量有50%的概率（0，1）/（1，0）与其相关。 在三维空间，将是（1，0，0）。另一个向量有1/3概率与其相关。纬度越高，概率越低。当然这只是以在每个分量上均为非负整数的单位向量举例，实际上一定不会这么理想。但随着纬度增加，将向量单位化以后，若不能保证恰好在同一纬度或者有限的几个纬度有较高的相关性，那么最终向量的内积也趋于0。 ♥ 7
幸存者呵 2023-01-02 想到了一个用更基础的知识可以解决的方法： 这个问题就是在问，如何证两个n维单位向量的内积期望值在n足够大时趋于0。 取其中一个为（1，0，……，0），另一个向量与这个向量的垂直程度，可以用（x1，……，xn）中的x1的绝对值表示。这里我们可以不妨设x1……xn都非负。 因为Σx²=1，所以x1平方的期望值，就是1/n。显然，随着n的增大，x1平方的期望值在减小，且趋于0。（到这里就可以感性理解了，下面严格证一下） 如果x1期望不趋于0，不妨设恒>a，而在n趋于无穷时，若x1>a的概率恒大于任意的p>0，那么x1平方的期望就>a²p>0，这与x1平方期望值趋于0矛盾。 所以x1>a的概率趋于0，为了让x1的期望>a，显然x1<a的概率也趋于0。所以x1=a的概率趋于1。 同理的，x2，x3……，xn=a的概率也趋于1，所以该随机向量会非常非常接近（a，a，……，a）及其各个分量取相反数的向量。这是荒谬的。证毕。 ♥ 4 ↩ 1
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UP给出了一个很好的解释，但是并不严谨。UP的这个问题其实有一种更浅显易懂的解答方式，既不用设定特定的概率阈值，也很好的解释了那些数学公式是如何引入的。 1，首先对于N维空间的任意单位向量X(x1,x2,...,xn)和X'(x1',x2',...,xn')，我们有： x1^2+x2^2+…+xn^2=1 另一个同理，手机打符号真的很费劲我就不写了。 2，我们考察两个向量的内积： x1x1'+x2x2'+…+xnxn' 我们要证的是这个内积几乎为零。 3，对任意向量X和X'，我们总能通过一组正交变换S使得XS为轴向单位向量（1,0,0,…,0），说人话就是我们可以把一个向量取在轴上，然后随机取另一个向量，而不影响这个问题的自由度。 4，现在内积X·X'=x1'，我们要证它几乎为零 5，什么叫几乎垂直？Up引入了一个阈值区间来说明这个问题，但是现在我们有了一个更加明确的数学概念，那就是当空间维度趋于无穷时，x1'为零的概率收敛到1，即： n→∞时，P(x1'=0)→1 6，UP做了一个很好的铺垫，即x1^2+x2^2+…+xn^2=1的所有可能情况，其实均匀分布在一个n维单位球面上，同理，当x1=0时，x2^2+…+xn^2=1的所有可能情况均匀分布于一个n-1维单位球面上，P(x1'=0)即二者的面积之比： P(x1'=0)=S(n-1)/S(n) 7，n维球面的面积公式并不显然，它是一个n重积分，以Gamma函数的形式给出，然后回到了Up的表达式。 UP你觉得我这么说，是不是更严谨一些？[滑稽][滑稽][滑稽][滑稽]
♥ 244 ↩ 15
二维概率本质是面积比，三维概率本质是体积比；而三维图像本质是二维图像的旋转。 由于对称，仅需考虑四分之一的二维图像，以及将其旋转极小角度的三维图像。 将二维图像微分为小扇形（小三角），三维图像即微分为小四棱锥，但由于我们在二维图像知道的是其侧面积，故将其沿底面矩形对角线等分为2个等体积的三棱锥。 故小四棱锥体积之比=小三棱锥体积之比=高之比=边缘划过距离之比=各角度cos值之比。 故三维概率=cos（0~2.5°）的积分/cos（0~90°）的积分[脱单doge]
♥ 152 ↩ 12
0维空间：V={0}，所有向量全部正交 [doge][doge][doge][doge][doge]
♥ 72 ↩ 9
稍微严谨地说，设Xn为随机变量，表示n维空间中，以等概率取任意两个向量时这两个向量的夹角，则随机变量序列{Xn}依概率1收敛于X=pi/2。从这个意义上说，“几乎”这个词很合适，因为概率最大是1，所以这个收敛应该可以强化为“几乎”一致收敛。
♥ 45 ↩ 2
感觉有点像我最近刚学完的线代里关于垂直投影的东西[思考]。不得不说up主关于概率的计算确实很精彩，像我一样数学不好的也就只能干瞪眼了[笑哭]。以下为一些计算机专业本科生视角的个人见解（从纬度出发）： 假设W为R^n的子空间，则垂直于W的W'也是R^n的子空间。（这个学过线代的应该都有看到过吧）从而可以证明dim(W)+dim(W’)=n。（证明涉及rank-nullity theorem和column and row space。篇幅有限就不证了）。也就是说这两个正交的空间的维度之和为他们父空间的总维度。如果把一开始选定的向量定为空间W的基向量，则： 1.在R^1 一维空间内，除了0向量外没有正交 2.在R^2中与W正交的W'的维度为1，也就是一条线。可从W'中选的向量无非就是cv，c属于任意实数，v为W'的基向量 3.在R^3中，W'的维度被扩展到了2。能选的向量随之增多，因为不光拉伸、反转单独的一个基向量可以得到垂直的向量外，还能将两个基向量相加 4. 以此类推 当维度接近R^n时，W'的维度也来到了n-1维。所以才出现了概率增加的现象，不过出于我个人拙劣的数学功底，无法证明当n趋于无限时，任意两个向量正交的概率趋于1。同时我也感觉这个概率并非随着维度增加线性增长
♥ 28 ↩ 3
2维平面中，和A向量正交的向量落在与A垂直的直线上；3维空间，中和A正交的向量落在与A垂直的平面内；N维空间中，和A正交的向量落在和A垂直的N-1维空间内。
♥ 16
这里的随机是不是应该更加明确地定义一下？这里应该指的是角度随机幅值不所谓，如果把随机的定义改成向量中各个分量随机，是不是结果就不同了[2233娘_大笑][打call]
♥ 15 ↩ 2
从刻晴到向量积[抱拳]
♥ 15
知识穿脑而过[星星眼]
♥ 9
这个up在视频40秒时出现了致命错误，图像，点云本身是二维与三维。但是在深度学习的输入部分，将这些转化为输入向量时，那个输入向量是高纬度的，且纬度有限，非无穷的。
♥ 7 ↩ 1
有没有可能通过正交（或接近正交）的内积来说明[思考]。 即先将两个向量写成k*单位向量的形式，然后正面两个单位向量的内积趋于0。因为完全随机的向量分量，随着向量纬度增加，越来越难以在某个分量上具有很高的相关性（即乘积足够大）。例如二维空间，只考虑每个纬度为非负整数的单位向量，对于（1，0）。另一个向量有50%的概率（0，1）/（1，0）与其相关。 在三维空间，将是（1，0，0）。另一个向量有1/3概率与其相关。纬度越高，概率越低。当然这只是以在每个分量上均为非负整数的单位向量举例，实际上一定不会这么理想。但随着纬度增加，将向量单位化以后，若不能保证恰好在同一纬度或者有限的几个纬度有较高的相关性，那么最终向量的内积也趋于0。
♥ 7
其实我看不懂，只是觉得声音好听[doge]
♥ 5
想到了一个用更基础的知识可以解决的方法： 这个问题就是在问，如何证两个n维单位向量的内积期望值在n足够大时趋于0。 取其中一个为（1，0，……，0），另一个向量与这个向量的垂直程度，可以用（x1，……，xn）中的x1的绝对值表示。这里我们可以不妨设x1……xn都非负。 因为Σx²=1，所以x1平方的期望值，就是1/n。显然，随着n的增大，x1平方的期望值在减小，且趋于0。（到这里就可以感性理解了，下面严格证一下） 如果x1期望不趋于0，不妨设恒>a，而在n趋于无穷时，若x1>a的概率恒大于任意的p>0，那么x1平方的期望就>a²p>0，这与x1平方期望值趋于0矛盾。 所以x1>a的概率趋于0，为了让x1的期望>a，显然x1<a的概率也趋于0。所以x1=a的概率趋于1。 同理的，x2，x3……，xn=a的概率也趋于1，所以该随机向量会非常非常接近（a，a，……，a）及其各个分量取相反数的向量。这是荒谬的。证毕。
♥ 4 ↩ 1
用三余弦定理来证不是很简单吗？
♥ 3
能不能讲讲chatGPT[doge]能不能训练一个刻晴出来
♥ 3
加油，很棒
♥ 3
把向量映射到球面求近似正交概率的方法也适用于无穷维吗？
♥ 2
概率密度曲线跟幂函数特别与某个函数的积特别象。
♥ 2
[支持]!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
♥ 1
这好像是量子力学里自发定域理论的基础
♥ 1