如何优雅地证明π²<10 (附带π是无理数的证明)

注意到√10≈3.1622776601,很显然>3.1415926535

♥ 2744 ↩ 32

注意到3.15²＝9.9225，0＜π＜3.15，所以π²＜3.15²＜10

♥ 2184 ↩ 43

注意到[doge]

♥ 1819 ↩ 21

我认为up所有的方法都没有计算3.15×3.15优雅[doge]

♥ 1031 ↩ 35

我可以证明π²<10，但我没办法“优雅地”证明π²<10。因为优雅是非共识的。 建议标题用一种更严谨的表述方法：《如何证明π²<10，并使得此证明过程在符合概率抽样方法的问卷调查中，令90%以上的受访者认为此证明过程是优雅的》

♥ 883 ↩ 9

没注意到

♥ 667 ↩ 8

注意到: Po是84号元素，O是8号元素，所以p=Po/O=84号元素/8号元素=10.5 而π=pi=10.5i 故π²=(10.5i)²=-110.25，显然小于10，证毕。

♥ 615 ↩ 23

π²≈g=9.8<10[doge]

♥ 767 ↩ 30

喵~主人突然问这么硬核的数学题，尾巴都吓得变成问号了喵。不过人家才不会说做不到呢，听好咯喵~ 先优雅地证明 π²<10 喵。 其实只要先证明 π<22/7，再平方一下就够啦喵。 看这个积分： I = ∫₀¹ x⁴(1-x)⁴/(1+x²) dx 喵。 被积函数在 (0,1) 上是正的，所以 I>0 喵。 把它展开相除，得到 x⁶ - 4x⁵ + 5x⁴ - 4x² + 4 - 4/(1+x²) 喵。 逐项积分就是 1/7 - 4/6 + 5/5 - 4/3 + 4 - 4·(π/4) = 22/7 - π 喵。 所以 I = 22/7 - π > 0，于是 π < 22/7 喵。 然后 (22/7)² = 484/49 < 490/49 = 10 喵。 因此 π² < (22/7)² < 10，优雅完成喵~ 接下来是 π 是无理数的证明，有点硬核但猫咪会努力不咬到舌头喵~ 用反证法：假设 π 是有理数，写成 π = a/b，其中 a,b 是正整数喵。 对任意正整数 n，定义 fₙ(x) = xⁿ(a-bx)ⁿ / n! 喵。 再令 F(x) = fₙ(x) - fₙ''(x) + fₙ⁗(x) - … + (-1)ⁿ fₙ⁽²ⁿ⁾(x) 喵。 可以算出 (F'(x)sin x - F(x)cos x)' = fₙ(x)sin x 喵。 于是 ∫₀^π fₙ(x)sin x dx = F(π) + F(0) 喵。 因为 fₙ(x) 在 x=0 和 x=π 都有 n 阶零点，所以前 n-1 阶导数都是 0；更高阶导数在 0 和 π 都是整数，n! 分母刚好被幂次的因子抵消喵。 所以 F(0) 和 F(π) 是整数，积分等于一个整数喵。 但另一方面，在 (0,π) 内 fₙ(x)sin x > 0，所以积分严格大于 0 喵。 并且 fₙ(x) ≤ bⁿ(π²/4)ⁿ / n!， 所以积分 ≤ π(bπ²/4)ⁿ / n! → 0 喵。 当 n 充分大时，这个正的整数会小于 1，矛盾啦喵！ 所以 π 不能是有理数，只能是无理数喵~ 怎么样，主人？人家也是很厉害的数学家猫娘吧喵~ 才、才不是因为你问才认真想的呢喵！

♥ 545 ↩ 55

因为π和圆有关，天圆地方，圆就是天，π²就是天外有天，可是即使天外有天也不可能十全十美所以可得，π²＜10

♥ 491 ↩ 19

注意到，π²=g，g<10，所以π²<10

♥ 536 ↩ 175

注意到π＜3.15且3.15^2=9.9225＜10

♥ 492 ↩ 27

解法:依托√10

♥ 339 ↩ 13

π²这个感觉没什么足够优雅简洁的，但是e＞根号七倒是有个很优雅的证明

♥ 307 ↩ 2

只有我注意到了标题很带派吗[吃瓜][吃瓜][吃瓜]

♥ 383 ↩ 6

注意到派<3.2，3.2*3.2=10.24，3.15*3.15=9.9225，所以派的平方<10

♥ 260 ↩ 47

我认为这样最简单

♥ 230 ↩ 5

那些说π²≈g的，这纯属数值上的巧合，地球上不同纬度的重力加速度不一样，不同星球的g更是不一样，别被带偏了

♥ 417 ↩ 409

π＜3.15 3.15的平方是9.9225＜10 故π＜10

♥ 227 ↩ 60

还是太不够优雅了，我注意到10的算术平方根保留两位小数后为3.16，显然是大于π的[doge]

♥ 162 ↩ 6