-迟钝皮纳德- 2022-04-05 uo好棒[大笑] 我也想和up分享一下我印象最深刻的方法！[捂眼] 可以用朱世杰恒等式：(也是一种裂项法吧） n(n+1)＝1/3*(n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)) 故n²＝1/3*(n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1))-n 两边求和 ∑n²＝n(n+1)(n+2)/3-∑n ＝n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2 ＝n(n+1)(2n+1)/6 ♥ 369 ↩ 6
i5wear 2022-04-06 我推导过一个式子 已知n次级数和的通项，就能直接代入递推出n+1次的通项 我们有1^0+…+n^0=n 就能不停推下去 1: n(n+1)/2 2: n(n+1)(2n+1)/6 3: 【n(n+1)】^2/4 4: n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30 5: 【n(n+1)】^2(2n^2+2n-1)/12 … 但是遗憾的是，从递推到通项的这一步我找不到解法 ♥ 115 ↩ 9
斯si阿a颯sa 2022-04-09 直接用n³－(n－1)³等于3n²－3n＋1 然后n²就等于1/3（n³-(n－1)³＋3n-1） 然后往下写到1² 相加得到一个n³－1和一个通项公式为3n－1的等差数列求和 最终因式分解得到1/6n(n＋1)(2n+1) 同理，三次方甚至更高次的求和都可以用高一次的两项相减得到 ♥ 76 ↩ 2
腐草为萤轮回 2022-04-06 评论区说一下，希望up主能看到，up主方法本质上其实是用了差分原理变成二重求和，然后交换二重求和次序。这并不算多么新颖的方法，是非常基础的证明方法，等up主以后学的知识更多之后相信就会了解到。私以为说是“全网第一”有些牵强，不过up主探索数学的热心只要常在，相信终会有巨大的成就，具体过程已经私发，可以私信交流 ♥ 76 ↩ 11
桐乃I赛高 2022-04-07 有一种方法！ 1+2+3+...+n＝1/2n²＋1/2n 对其进行反求导，得到1/6n³+1/4n²，再乘以1²+2²+...+n²中的2得到1/3n³＋1/2n²，再加上1减去这两个系数再乘以n，也就是加上（1-1/3-1/2）n＝1/6n，也就得到了1²+2²+...+n²＝1/3n³+1/2n²+1/6n＝n（n+1）(2n+1)/6 以此方法也可以一直推下去 ♥ 23 ↩ 8
Lutubecome 2022-04-22 构造正三角形，第一排一个数1，第二排两个2....第n排有n个n，即相加为1²+2²+...+n²，将这个三角形分别顺时针，逆时针旋转120度后重叠，有（1+2+...+n）个2n+1，相乘除三得到1²+2²+...+n²=n（n+1）（2n+1）/6 ♥ 3
Asuka-Jt 2022-04-22 我分享一个记忆最深的证明： 0.如果数列an已知，则数列Sn存在且唯一。 1.可以用归纳法证明:∑n^s=Q(n)其中Q是s+1次多项式。 2.设xQ(x)=∑n^s，n从1到x. 其中Q(x)是s次多项式, 有s+1个待定系数 3.解线性代数方程xQ(x)=S_x, x=1...s+1得到这些系数。 4.根据引理0这个和式是存在且唯一的，S_n=nQ(n). ♥ 3 ↩ 1
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uo好棒[大笑] 我也想和up分享一下我印象最深刻的方法！[捂眼] 可以用朱世杰恒等式：(也是一种裂项法吧） n(n+1)＝1/3*(n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)) 故n²＝1/3*(n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1))-n 两边求和 ∑n²＝n(n+1)(n+2)/3-∑n ＝n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2 ＝n(n+1)(2n+1)/6
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平方和公式口诀：我（n）和我哥（n+1）一起（2n+1）去遛（6）狗[doge]
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可不可以推一下三次方的
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我推导过一个式子 已知n次级数和的通项，就能直接代入递推出n+1次的通项 我们有1^0+…+n^0=n 就能不停推下去 1: n(n+1)/2 2: n(n+1)(2n+1)/6 3: 【n(n+1)】^2/4 4: n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30 5: 【n(n+1)】^2(2n^2+2n-1)/12 … 但是遗憾的是，从递推到通项的这一步我找不到解法
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直接用n³－(n－1)³等于3n²－3n＋1 然后n²就等于1/3（n³-(n－1)³＋3n-1） 然后往下写到1² 相加得到一个n³－1和一个通项公式为3n－1的等差数列求和 最终因式分解得到1/6n(n＋1)(2n+1) 同理，三次方甚至更高次的求和都可以用高一次的两项相减得到
♥ 76 ↩ 2
评论区说一下，希望up主能看到，up主方法本质上其实是用了差分原理变成二重求和，然后交换二重求和次序。这并不算多么新颖的方法，是非常基础的证明方法，等up主以后学的知识更多之后相信就会了解到。私以为说是“全网第一”有些牵强，不过up主探索数学的热心只要常在，相信终会有巨大的成就，具体过程已经私发，可以私信交流
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这不用老子定理秒了，等于n三次方
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和我完全一样的证明方法，不过我发的比你早[doge][doge]
♥ 34 ↩ 4
有一种方法！ 1+2+3+...+n＝1/2n²＋1/2n 对其进行反求导，得到1/6n³+1/4n²，再乘以1²+2²+...+n²中的2得到1/3n³＋1/2n²，再加上1减去这两个系数再乘以n，也就是加上（1-1/3-1/2）n＝1/6n，也就得到了1²+2²+...+n²＝1/3n³+1/2n²+1/6n＝n（n+1）(2n+1)/6 以此方法也可以一直推下去
♥ 23 ↩ 8
我当初推这个公式几天都推不出来，网上看了一堆办法但是感觉都不是很容易想到，很多还是要先归纳再证明，看到up的办法真的是太妙了[热词系列_吹爆]
♥ 22 ↩ 3
1²+2²+3²+4²+...+n²＝n·(n+1)·(2n+1)/6
♥ 22
令f(x)=x+x^2+x^3+......+x^n 那么(xf'(x))'在x＝1时的取值就是要求的平方和公式[doge]
♥ 12 ↩ 8
我也自创过一个 x²+x²+(y²-x²)[热词系列_吹爆]
♥ 10
我这里有个新思路，可以看看[妙啊] https://b23.tv/XtLjJq3
♥ 10 ↩ 1
不是首创，三角形法在深圳中考考过，好像有8-9年了
♥ 8
还可以使用“学霸题数正方体”的方式来推导，参见此：BV1Pb4y1Y7YK
♥ 6 ↩ 1
小小仙童，好可爱啊[老鼠]
♥ 3
居然是正经的，我究竟在期待什么[doge]
♥ 3
构造正三角形，第一排一个数1，第二排两个2....第n排有n个n，即相加为1²+2²+...+n²，将这个三角形分别顺时针，逆时针旋转120度后重叠，有（1+2+...+n）个2n+1，相乘除三得到1²+2²+...+n²=n（n+1）（2n+1）/6
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我分享一个记忆最深的证明： 0.如果数列an已知，则数列Sn存在且唯一。 1.可以用归纳法证明:∑n^s=Q(n)其中Q是s+1次多项式。 2.设xQ(x)=∑n^s，n从1到x. 其中Q(x)是s次多项式, 有s+1个待定系数 3.解线性代数方程xQ(x)=S_x, x=1...s+1得到这些系数。 4.根据引理0这个和式是存在且唯一的，S_n=nQ(n).
♥ 3 ↩ 1