【科普】勒让德变换的几何意义（很简单的！）

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上次的勒让德变换视频下面有人问我几何意义，当时我不知道(ΘへΘ)今天看热统的时候看见了哈哈哈哈哈，有错误欢迎指出来，谢谢(*°∀°)=3
勒让德变换数学推导：
https://www.bilibili.com/video/BV1LQ4y1M7yz

Comments

Asuka-Jt 2020-10-27

其实勒让德变换这种有点太单纯的。我在纯数学那边看到的补充一下吧首先，有一个二元函数f(x,y), 当然y如果看成其它一堆变量的向量也不失一般性。所以我们只研究二元函数。且f是定义在实平面上的二阶导数算符连续的实函数(如果不知道复函数矢性函数、连续函数是否可导...这句话可以不看。) 其中，f是关于x凹的(凸的也无所谓，有类似定义) 考虑一个最优化函数 g(p,y):=min_x f(x,y)-p.x 其中，p是给定的实数. 我们在给定的实数p下，试探x的取值，使得f(x,y)-px对每一个y,p取极小值，这时的极小值显然依赖于py的取值，又因为f是关于x全局凹的，所以这个极小值必定存在且唯一，故是最小值。所以这个min给出了一个自变量为p, y的函数我们把他记作 g(p,y)=min_x f(x,y)-p.x 再，又因为极小值点的唯一性+与f关于x的二阶导函数连续性，不妨记f(x,y)-p.x在x=x*处取有极小值,(我们对函数做的假设使得)x*显然是依赖于p与y的函数，记为x*(p,y)(:=arg min_x f -px). 于是有g(p,y)=f(x*(p,y),y)-p x*(p,y) 那么，x*在什么地方取有极小值呢？由高中生都知道的找极值方法(我们对f的假设保证了这个方法的正确性)，对f-px关于x求导等于零得到∂f(x,y)/∂x=p 而x=x*(p,y)就是上述的解！注意到∂f(x,y)/∂x=p，p的意义不就是f关于x的切空间吗？也就是说，这样定义出来的g(p,y)就保持无关变量y不变, 自然的将x提换成了f关于x的导数p=f'x的函数！现在验证勒让德关系: 注意到 g(p,y)=f(x*(p,y),y)-p x*(p,y) ∂f(x*,y)/∂x=p 对p求导，有链式法则 ∂g(p,y)/∂p=∂f(x*,y)/∂x ∂x*(p,y)/∂p- x*(p,y)-p ∂x*(p,y)/∂p 注意到，x*的定义(由极小值的驻点条件) ∂f(x*,y)/∂x=p 得到 ∂g(p,y)/∂p=- x*(p,y)，以及 ∂g(p,y)/∂y=∂f(x*,y)/∂x ∂x*(p,y)/∂y -p ∂x*(p,y)/∂y+∂f(x*,y)/∂y=∂f(x*,y)/∂y

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悦悦爱物理 2020-10-02

之前的勒让德变换视频https://www.bilibili.com/video/BV1LQ4y1M7yz 有人评论问几何意义，当时我不知道(ΘへΘ)今天看热统的时候看见了哈哈哈哈哈。所以分享给大家！[星星眼] 有错误欢迎指出来，谢谢(*°∀°)=3

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悦悦爱物理 2025-01-30

感谢五年前的悦悦[doge][doge]教了现在的我(因为我忘了)

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瓶子的瓶字 2020-12-08

跟着本科学妹学习勒让德变换

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圆圆的老硬币 2020-10-13

学会了投币了关注了QVQ

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凡尘似星 2020-10-02

支持学姐[月饼][月饼][月饼]

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账号已注销 2021-12-15

悦悦学姐讲的这不错！ [打call]

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秃头的呆瓜 2021-01-27

太赞了

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liuboyangaa 2020-10-02

👍👍

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惣zz 2023-06-20

前面举的例子感觉还是有点问题，如果说有一个一维变量凸函数，则几何上曲线相应的点和相应的斜率是一定形成了一个双射关系，因此我们对这个函数仅仅进行换元得到的函数，也一定是对应之前那个凸函数仅仅一个函数的，不会出现对应多个平移函数的问题，因为作为新函数自变量的斜率正如之前所说，是和凸函数自变量形成一个双射关系的，这个双射关系保证了换元的信息不会丢失。但为什么还是会去使用Legendre变换来进行换元，可能还是说在微分流形上切丛和余切丛的对偶吧。

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