【官方双语】卷积的两种可视化|概率论中的X+Y既美妙又复杂
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随机变量之和，与中心极限定理的联系。关于“卷积”，我们将从离散情形到连续情形，看两种可视化的方式。 更多信息请看下方评论 翻译：saniac Diro 校对：ZSC 时轴：ZSC 后期：愚者 X+Y, in probability, is a beautiful mess - Visualizing continuous convolutions https://youtu.be/IaSGqQa5O-M
随机变量之和，与中心极限定理的联系。关于“卷积”，我们将从离散情形到连续情形，看两种可视化的方式。 更多信息请看下方评论 翻译：saniac Diro 校对：ZSC 时轴：ZSC 后期：愚者 X+Y, in probability, is a beautiful mess - Visualizing continuous convolutions https://youtu.be/IaSGqQa5O-M
Comments
晚上发数学，睡得香[doge]
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本科上高阶概率论的时候，老师花了整整一节课50分钟的时间给我们讲了CLT的严格证明，从头到尾只讲这一个知识点，到下课刚好证完，没有丝毫拖堂。当时看着那一黑板的证明过程我真的惊为天人，无论是证明思路还是老师的节奏，那都是我在数学系里上过印象最深的一堂课。
♥ 657 ↩ 11
我会学的，我醒了就学，我就睡一会☝️
♥ 613 ↩ 21
顺便说一句，小学学习的竖式乘法就是离散的卷积[嘘声]
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其实正态分布只是一大类满足stable law（就是自己卷积自己还是自己）的概率分布中的一个，算特征函数能知道这一类分布由一个参数决定。 正态分布之所以频频出现是因为只有它有方差（像柯西分布就没有方差，甚至没有均值）
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我很喜欢3b1b的这种视频。虽然人们已经熟知这些基础的知识，但我还是想知道为什么会有这些知识、如何在直观上理解他们，更重要的是，我也可以知道人们为什么选择这种计算来解决问题。也许这对大佬来说并没有什么作用，但这些视频对于一个尚未了解行业的本科学生真的受益匪浅。 “为什么输入信号经过系统的结果，需要利用卷积来计算？卷积计算和物理实现过程到底有什么关系？”如果没有这些“基础的定义性”视频，这个问题还会困扰我更久。而现在，这些视频的思路真的让我茅塞顿开。 爱来自瓷器
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还没看，请问Grant是不是又挖坑了
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我觉得视频中对连续随机变量这件事的处理是有问题的，或者至少是不全面的。当然，我的专业并不学概率论这门课，所以问得可能比较幼稚，但还是希望有朋友能与我讨论一下。 在离散的随机变量情形，比如说有两个独立的随机变量X和Y，他们都从{0, 1, 2, 3}里头取值，并且定义S = X + Y，那么确实可以写出例如 P(S=2) = P(X=0)*P(Y=2) + P(X=1)*P(Y=1) + P(X=2)*P(Y=0) 这样卷积形式的等式。这里的关键在于S=2是一个随机事件，并且由于S依赖X和Y，所以可以拆成一些关于X和Y的随机事件。 连续随机变量则不同。为了防止混淆，明确一下写法，P(·)表示发生(·)这件事的概率，而p(X)表示连续随机变量X的pdf。假设有两个独立的随机变量X和Y，他们从区间【0, 3】里头取值。定义S = X + Y。现在p(S=2)并不是代表了S=2这个事件的概率，而是变量S的pdf在2这个地方的值。条件够好（假设pdf连续应该就好了？）的话，p(S=2) = P(2≤S≤2+dS) / dS。所以与p(S=2)相关的事件倒不如说是2≤S≤2+dS。S=2这个事件诚然可以拆成满足(X=t且Y=2-t)的所有事件的并，从而也可以形式地写 P(S=2) = 求和(P(X=t) * P(Y=2-t)，其中t从0到2)，可是在连续变量的情形下，这个式子没有多少意义。P是P，p是p，分拆了S=2这个事件并不代表就分拆了2≤S≤2+dS这个事件，从上面那个式子也不能理所当然马上得出 p(S=2) = 积分(p(X=t) * p(Y=2-t)，其中t从0到2)。这中间的道理还需要补上。
♥ 126 ↩ 42
如果你想要帮助一下未来的项目的话：https://www.patreon.com/3blue1brown 另一种等价的同样有价值的支持形式是分享这期视频...
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阿伟，你又在玩电动喔，休息一下吧，来看看3b1b的视频好不好。
♥ 82 ↩ 3
让我想起来我小时候看的“可汗学院”[打call]
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信号处理专业表示在大脑在懂与不懂的边缘上反复横跳并且大量产出废热[笑哭]
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那两个随机变量相乘呢？（我知道有人会说化成对数相加，但随机变量不一定是恒正的）
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本来想芦管的，看到这个视频必须自律！
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在系统满足线性和时不变性，矩阵是一个循环矩阵，所以就有了卷积。
♥ 28 ↩ 1
卷积算是信号里最难理解的一个坎，过了这个坎基本就没有特别难的地方了。
♥ 21 ↩ 1
知识经过脑子没有留下一丝痕迹[doge]
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很灵啊，一点开视频就瞌睡，眼皮就跟两块磁铁一样啪一下就合上了[tv_睡着]
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最后的思考题：两个均值为0且方差相同的正态分布的和的分布还是均值为0正态分布，并且方差是原来方差的根号二倍。用对角线切片法证明如下。首先注意到二元函数f(x)g(y)是x^2+y^2的函数，因此旋转对称，所以由等腰直角三角形的性质知 （参考26:56）函数图像在x+y=s的切面面积等于f(s/\sqrt{2}). 另一方面，由（25:12）知这个切面面积除以根号二等于f*g(s), 因此f*g(s)=f(s/\sqrt{2})/\sqrt{2}. 结论得证。
♥ 15 ↩ 1