我想多睡会- 2022-03-30 这样的原因是因为国内主流的教材都是延用了人教版高中教材在单位圆内定义三角函数sin,cos。这样带来的后果就是三角函数的概念偏于几何而不是代数，所以它们的导数，积分，连续性等等不够直观(说观察图像是不可取的，函数图像不可能精确被做出，其实是因为连续性才有这样的图像)。国外的某些教材，微积分讲完数列接着讲级数，用函数项级数的方式定义三角函数，这样的定义使得积分，连续性，导数等分析性质非常直观，但几何上差了很多，不利于初学者接受。其实我个人觉得高中的数学知识只会妨碍你对微积分的理解，建议当做没学过，尤其是导数那一块。 ♥ 185 ↩ 13
彼岸银尘 2022-04-01 我也去网上查了查，一种说法是现在课本洛必达是放在这些倒数后面学的，还有一种就是up说的，因为sin导是cos，而你用洛必达时要对分子sin求导，而sin的导数证明是用的重要极限，所以证明重要极限时不能直接对分子sin求导，up说的没问题，好多人把重点放在洛必达上，洛必达的出现和重要极限没太大关系，这里主要说的是重要极限分子sin不能直求导 ♥ 101
王同学真的不懂线代 2022-04-01 回答评论区几个普遍问题，只涉及到基本高中数学逻辑。 1.这个确实可以使用洛必达法则，因为他确实符合洛必达法则使用的条件，但是这只能说这个极限等于(sinx)'(x趋近于0)，而这个极限的定义就是sinx在0点处的导数。。。约等于没用[笑哭]。 2.有人说可能可以用其他方式绕过这个极限来证sinx的导数是cosx，下面我将说明为什么永远绕不开吧，sinx/x(x趋近于0)实际上就是sinx在0点处导数的定义，现在你要知道sinx在R上所有点处导数的必要条件是一定要知道他在0点的导数，而你在0点处的导数就是这个极限。 ♥ 99 ↩ 32
账号已注销 2022-04-02 一句话概括就是，在按照高中单位圆几何定义的三角函数sin的导数计算中，肯定会用到这个要证明的极限。所以是循环论证。 除非用另外的方法去定义三角函数，比如直接用幂级数去定义sin和cos。这样就不会有循环论证问题。 ♥ 46 ↩ 11
可是我不交朋友 2022-04-10 回复 @仙童数学 :回复 @仙童数学 :洛必达法则的成立只依赖于中值定理，换言之只对函数的连续性有一定的要求。 求sinx的导数有很多方法，这其中并不依赖于sinx/x的极限（事实上他们是可以互相推出的定理） 最后，之所以出现这样的问题，本质上是在构建数学体系的时候，到底先从无到有地证明出哪个定理，再用这个定理证明与其定价成立的定理的先后问题；换言之，构建数学体系有很多办法，不能因为你的教材上先证明了这个定理，用这个定理证明了别的定理，就反驳别人用别的定理得到这个定理的办法是错误的，因为在别的教材上可能确实就是用别的定理起手构建的体系。 举个例子，武汉大学邹应数学分析教材是先处理了riemann积分，再用上限函数定义了基本初等函数，然后处理这些函数的导数，显然和通用的方法是不同的。但你不能说这样处理是错误的（因为不管怎么定义，他们说的是一回事，是等价的）。 ♥ 21 ↩ 1
lynmir 2022-04-25 只能说属于典型的思而不学则殆了。从几何上出发的三角函数虽然直观，但不严谨，所以在面对微积分学的时候就会出现各种各样的bug和佯谬。事实上，当你用θ对应几何上的弧长的时候，就天然带来了“弧长”要怎么定义的问题。而当你去深究其完备性的时候，不依赖于几何学上的三角函数定义就已经呼之欲出了。 ♥ 12 ↩ 11
jxliang 2022-05-20 数形结合的方法严密性不足，数学分析起点一般是从实数的代数公理、序公理、完备公理出发，或者是用皮亚诺公理逐步构造。中学介绍欧几里得几何并没有严格介绍希尔伯特的近代欧氏几何公理（或其他的严密欧氏几何系统，如Birkhoff），这样在数形结合的过程中“形”是物理上的（画在纸上的）直观体会，没有严格的数学论证。证明sinx/x在x趋于零的极限为0有几种方案： 1. 评论区已经讨论过的，用幂级数定义三角函数，也可用幂级数定义复变函数exp(ix)再定义三角函数，然后证明这个极限。这类定义证明这个极限简单。后续应用的难点是要重新定义pi，证明这些幂级数具有平面几何里三角函数性质。 2. 重新介绍严格化的欧几里得几何，精确定义弧长、三角函数（基于相似形）等概念，用回本视频的证明方法。但是证明过程图只是辅助思考，点与点的介于之间关系，面积大小关系，等等，都是已经证明过命题和公理的推论，论证过程无需物理直观。 3. 另一个数形结合的思路。笛卡尔解析几何可以导出欧几里得几何的公理，直接用实数的笛卡尔积可以定义解析几何。利用弧长公式可以定义arcsin x= 函数1/sqrt(1-t^2)在0到x的积分（卓里奇用类似方法定义arccos），用积分中值定理可以证明本题。也可定义arctan x=1/(1+t^2)在0到x的积分，再用tanx/sqrt(1+tan^2 x)定义sinx，利用积分中值定理和tan与sin的关系证明本题。 ♥ 9
欧尼酱丶生气了喔 2022-04-09 谁说推导sinx的导数一定需要这个极限？我完全可以利用欧拉公式两个开导然后对比虚部实部得出正余弦的导数，具体过程如下： e^ix＝cosx＋isinx 两边求导得 ie^ix＝dcosx/dx ＋disinx/dx（求导符号打不出来就这样看吧反正结果是一样的，谁规定证明正余弦导数必须要用和差化积？）然后我们知道i根据欧拉公式是等于cosπ/2 ＋isinπ/2又等于e^iπ/2，所以ie^ix可以写为e^i（x＋π/2）再次利用欧拉公式，e^i（x＋π/2）＝cos（x＋π/2）＋isin（x＋π/2）又因为上面有e^i（x＋π/2）是等于dcosx/dx＋disinx/dx，根据虚实部对应得，cos（x＋π/2）就等于cosx的导数，而sin（x＋π/2）就是sinx的导数 ♥ 9 ↩ 4
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这样的原因是因为国内主流的教材都是延用了人教版高中教材在单位圆内定义三角函数sin,cos。这样带来的后果就是三角函数的概念偏于几何而不是代数，所以它们的导数，积分，连续性等等不够直观(说观察图像是不可取的，函数图像不可能精确被做出，其实是因为连续性才有这样的图像)。国外的某些教材，微积分讲完数列接着讲级数，用函数项级数的方式定义三角函数，这样的定义使得积分，连续性，导数等分析性质非常直观，但几何上差了很多，不利于初学者接受。其实我个人觉得高中的数学知识只会妨碍你对微积分的理解，建议当做没学过，尤其是导数那一块。
♥ 185 ↩ 13
你在推倒sinx‘=cosx用到了那个极限不代表其他人也需要用。
♥ 160 ↩ 33
当年Coston老师退出数学界，我是极力阻止的[doge]
♥ 127 ↩ 3
我也去网上查了查，一种说法是现在课本洛必达是放在这些倒数后面学的，还有一种就是up说的，因为sin导是cos，而你用洛必达时要对分子sin求导，而sin的导数证明是用的重要极限，所以证明重要极限时不能直接对分子sin求导，up说的没问题，好多人把重点放在洛必达上，洛必达的出现和重要极限没太大关系，这里主要说的是重要极限分子sin不能直求导
♥ 101
回答评论区几个普遍问题，只涉及到基本高中数学逻辑。 1.这个确实可以使用洛必达法则，因为他确实符合洛必达法则使用的条件，但是这只能说这个极限等于(sinx)'(x趋近于0)，而这个极限的定义就是sinx在0点处的导数。。。约等于没用[笑哭]。 2.有人说可能可以用其他方式绕过这个极限来证sinx的导数是cosx，下面我将说明为什么永远绕不开吧，sinx/x(x趋近于0)实际上就是sinx在0点处导数的定义，现在你要知道sinx在R上所有点处导数的必要条件是一定要知道他在0点的导数，而你在0点处的导数就是这个极限。
♥ 99 ↩ 32
快证明2的四次方等于4的二次方[跪了][跪了][跪了]
♥ 93 ↩ 3
一句话概括就是，在按照高中单位圆几何定义的三角函数sin的导数计算中，肯定会用到这个要证明的极限。所以是循环论证。 除非用另外的方法去定义三角函数，比如直接用幂级数去定义sin和cos。这样就不会有循环论证问题。
♥ 46 ↩ 11
那么老师能否有机会证明一下数形结合是正确的呢，这个问题困扰我好久了[doge][doge]
♥ 32 ↩ 5
看评论区就感觉数学教育还有很大的提升空间啊
♥ 26
回复 @仙童数学 :回复 @仙童数学 :洛必达法则的成立只依赖于中值定理，换言之只对函数的连续性有一定的要求。 求sinx的导数有很多方法，这其中并不依赖于sinx/x的极限（事实上他们是可以互相推出的定理） 最后，之所以出现这样的问题，本质上是在构建数学体系的时候，到底先从无到有地证明出哪个定理，再用这个定理证明与其定价成立的定理的先后问题；换言之，构建数学体系有很多办法，不能因为你的教材上先证明了这个定理，用这个定理证明了别的定理，就反驳别人用别的定理得到这个定理的办法是错误的，因为在别的教材上可能确实就是用别的定理起手构建的体系。 举个例子，武汉大学邹应数学分析教材是先处理了riemann积分，再用上限函数定义了基本初等函数，然后处理这些函数的导数，显然和通用的方法是不同的。但你不能说这样处理是错误的（因为不管怎么定义，他们说的是一回事，是等价的）。
♥ 21 ↩ 1
在不等式那里 （日·cos日）➗sin日 怎么等于 sin日➗日 ？
♥ 18 ↩ 8
看来好多人学的是高数而不是数学分析[doge]
♥ 17 ↩ 2
只能说属于典型的思而不学则殆了。从几何上出发的三角函数虽然直观，但不严谨，所以在面对微积分学的时候就会出现各种各样的bug和佯谬。事实上，当你用θ对应几何上的弧长的时候，就天然带来了“弧长”要怎么定义的问题。而当你去深究其完备性的时候，不依赖于几何学上的三角函数定义就已经呼之欲出了。
♥ 12 ↩ 11
只要满足洛必达法则的条件，为什么不可以洛？简单问题复杂化，为赋新词强说愁，装腔作势，扮鬼吓人！
♥ 12 ↩ 20
数形结合的方法严密性不足，数学分析起点一般是从实数的代数公理、序公理、完备公理出发，或者是用皮亚诺公理逐步构造。中学介绍欧几里得几何并没有严格介绍希尔伯特的近代欧氏几何公理（或其他的严密欧氏几何系统，如Birkhoff），这样在数形结合的过程中“形”是物理上的（画在纸上的）直观体会，没有严格的数学论证。证明sinx/x在x趋于零的极限为0有几种方案： 1. 评论区已经讨论过的，用幂级数定义三角函数，也可用幂级数定义复变函数exp(ix)再定义三角函数，然后证明这个极限。这类定义证明这个极限简单。后续应用的难点是要重新定义pi，证明这些幂级数具有平面几何里三角函数性质。 2. 重新介绍严格化的欧几里得几何，精确定义弧长、三角函数（基于相似形）等概念，用回本视频的证明方法。但是证明过程图只是辅助思考，点与点的介于之间关系，面积大小关系，等等，都是已经证明过命题和公理的推论，论证过程无需物理直观。 3. 另一个数形结合的思路。笛卡尔解析几何可以导出欧几里得几何的公理，直接用实数的笛卡尔积可以定义解析几何。利用弧长公式可以定义arcsin x= 函数1/sqrt(1-t^2)在0到x的积分（卓里奇用类似方法定义arccos），用积分中值定理可以证明本题。也可定义arctan x=1/(1+t^2)在0到x的积分，再用tanx/sqrt(1+tan^2 x)定义sinx，利用积分中值定理和tan与sin的关系证明本题。
♥ 9
谁说推导sinx的导数一定需要这个极限？我完全可以利用欧拉公式两个开导然后对比虚部实部得出正余弦的导数，具体过程如下： e^ix＝cosx＋isinx 两边求导得 ie^ix＝dcosx/dx ＋disinx/dx（求导符号打不出来就这样看吧反正结果是一样的，谁规定证明正余弦导数必须要用和差化积？）然后我们知道i根据欧拉公式是等于cosπ/2 ＋isinπ/2又等于e^iπ/2，所以ie^ix可以写为e^i（x＋π/2）再次利用欧拉公式，e^i（x＋π/2）＝cos（x＋π/2）＋isin（x＋π/2）又因为上面有e^i（x＋π/2）是等于dcosx/dx＋disinx/dx，根据虚实部对应得，cos（x＋π/2）就等于cosx的导数，而sin（x＋π/2）就是sinx的导数
♥ 9 ↩ 4
夹逼定理是吧
♥ 9
从这个问题就能看出，高中先引入导数而不介绍极限带来的不良影响。
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我还在想sinx难道不连续吗 复习考研把自己人学傻了[藏狐]
♥ 7
我是艺术生 数学成绩差 谁能告诉我这期是认真上课 还是胡说八道啊？
♥ 6 ↩ 2