Banya_ 2026-04-05 漫士，这是我初三的时候研究了好几天都没有研究出来的问题，帮我看看是不是也能用降维打击的方法解决[吃瓜] 在任意三角形ABC中，三个内角的角三等分线按如图所示的方式交于D、E、F三点，求证：三角形DEF为等边三角形 （图画的不是很标准，见谅） ♥ 287 ↩ 34
TF141普莱斯上尉 2026-04-05 其实这个丹帝林双球证明椭圆第一定义的时候，只要再多走一步，就能证明另一个非常震撼的第二定义。 椭圆第一定义，到两个焦点距离之和为定值的点的集合，第二定义，到其中一个焦点和所对应的准线的距离之比为定值的点的集合，这两个八竿子打不着的定义居然能完全等价，让人觉得非常神奇。 如果用代数运算证明他们两个等价，过程很丑陋，即使算完证明也没有任何进步可言。但是，只要意识到，将丹德林双球的那两个圆，对，就是圆锥和球体相切的切点集合，那两个平行的圆。把这两个圆的所在平面分别延长，与截圆锥的倾斜平面的交线就是对应准线。 当时作出这个证明之后真是惊为天人。感觉椭圆第一定义，第二定义，斜截圆锥定义，能在这里获得这样的等价与统一，那时候真的被阿波罗尼斯的智慧深深震撼，在那个没有坐标系的年代，他们就是用这样虽然不暴力百通却宏大深刻的办法，带来了对圆锥曲线的洞见 ♥ 237 ↩ 10
小徐不想下雨 2026-04-05 即使是漫士也没能正确用对降维打击吗（悲）。三体里的降维打击指的是把敌人的纬度降低来毁灭敌人。可是自从三体出圈之后许多人望文生义，把高维对低维的打击称作降维打击，甚至连高中生做初中数学题这种用更高级方式解决问题也称为降维打击。我最近一次听到这个词的正确用法是微积分里把二维积分（也称二元积分）化成两个一维积分（一元积分）来做，至少这个过程真的有降维。（无恶意，不求评） ♥ 61 ↩ 47
楠溪江野鸡 2026-04-06 这里提供两个我觉得非常神奇的例子，尤其是第一个我觉得是我数学竞赛中见到的最神奇的做法之一，如果不升维将非常困难，希望3b1b的视频里没有覆盖。 Q1: 我们称平面中两条相距为r的平行线之间的区域（包括这两条线）为一条宽为r的条带。求证：如果要用若干条带覆盖一个直径为d的圆，则条带的宽度之和至少得是d。 A1：升维，把这个直径为1的圆看成是直径为1的球和一个平面的交，一个宽为d的条带升维成了两个距离为r的平面中间夹的区域，这样一个区域和球的交集是一个圆环的形状，神奇的是这个形状的表面积是pi d r相乘，只和宽度r有关，与圆环的位置无关（可以直观想象一下，如果割的是球的中心位置，虽然割出来的体积很大，但是外面那一圈u是比较平的，导致表面积不大；如果割的是球的边缘位置，虽然只割出一个小帽子，但表面是扁的，表面积反而不小）。这些圆环的表面积之和至少是整个球的表面积，也就是pi d d相乘，所以r之和至少是d。 Q2: 假设有四只蜗牛在平面中沿着互不平行的直线路径做匀速直线运动，他们两两之间一共有六对，已知其中五对都曾在某个时间相遇过，求证剩下一对也必会在某个时间相遇。 A2：升维，加入一个时间轴，这样每个蜗牛的路径其实是三维时空（两维空间+一维时间）中的一条世界线，则条件变成了这四条三维时空中的直线中有五对相交，这可以推出这四条线在同一个平面内，且没有平行，所以必然两两相交。 ♥ 26 ↩ 2
Comments
观后感
♥ 1009 ↩ 11
@漫士沉思录 是你吗[doge_金箍]
♥ 541 ↩ 5
漫士！！快来看看我最近写的书《四维空间的探究》，真巧啊[吃瓜][吃瓜][吃瓜]
♥ 583 ↩ 74
漫士，这是我初三的时候研究了好几天都没有研究出来的问题，帮我看看是不是也能用降维打击的方法解决[吃瓜] 在任意三角形ABC中，三个内角的角三等分线按如图所示的方式交于D、E、F三点，求证：三角形DEF为等边三角形 （图画的不是很标准，见谅）
♥ 287 ↩ 34
其实这个丹帝林双球证明椭圆第一定义的时候，只要再多走一步，就能证明另一个非常震撼的第二定义。 椭圆第一定义，到两个焦点距离之和为定值的点的集合，第二定义，到其中一个焦点和所对应的准线的距离之比为定值的点的集合，这两个八竿子打不着的定义居然能完全等价，让人觉得非常神奇。 如果用代数运算证明他们两个等价，过程很丑陋，即使算完证明也没有任何进步可言。但是，只要意识到，将丹德林双球的那两个圆，对，就是圆锥和球体相切的切点集合，那两个平行的圆。把这两个圆的所在平面分别延长，与截圆锥的倾斜平面的交线就是对应准线。 当时作出这个证明之后真是惊为天人。感觉椭圆第一定义，第二定义，斜截圆锥定义，能在这里获得这样的等价与统一，那时候真的被阿波罗尼斯的智慧深深震撼，在那个没有坐标系的年代，他们就是用这样虽然不暴力百通却宏大深刻的办法，带来了对圆锥曲线的洞见
♥ 237 ↩ 10
诶这不是3b1b讲过的吗[doge]
♥ 200 ↩ 14
升维
♥ 178
一般學生解題思路[捂脸]（左）vs 學霸解題思路[doge]（右）
♥ 150 ↩ 6
看到标题就想到了这个[笑哭]
♥ 132 ↩ 12
Evanchen上的巧妙证明[微笑]。
♥ 74 ↩ 4
我说实话，那一句“升维”真的让人很难绷，这种音效听起来真的好奇怪。。[笑哭][笑哭]
♥ 71 ↩ 5
让我想起了四色定理，为什么是平面是四色，因为在三维世界里，最小的体是四面体。 思路有了，可惜我不会证明[捂脸]
♥ 72 ↩ 26
视频里面别重复放升维了, 这个真用力过猛了
♥ 79 ↩ 7
01:50 这个问题的直观解释 把三个圆看作同一个球体在不同远近的视角，切线就是你的视线，那么根据透视原理你的视线灭点必然在唯一的水平线上
♥ 48 ↩ 1
蒙日圆那里说的刁钻反例是像这样吗
♥ 42 ↩ 8
[doge_金箍]
♥ 41
即使是漫士也没能正确用对降维打击吗（悲）。三体里的降维打击指的是把敌人的纬度降低来毁灭敌人。可是自从三体出圈之后许多人望文生义，把高维对低维的打击称作降维打击，甚至连高中生做初中数学题这种用更高级方式解决问题也称为降维打击。我最近一次听到这个词的正确用法是微积分里把二维积分（也称二元积分）化成两个一维积分（一元积分）来做，至少这个过程真的有降维。（无恶意，不求评）
♥ 61 ↩ 47
这里提供两个我觉得非常神奇的例子，尤其是第一个我觉得是我数学竞赛中见到的最神奇的做法之一，如果不升维将非常困难，希望3b1b的视频里没有覆盖。 Q1: 我们称平面中两条相距为r的平行线之间的区域（包括这两条线）为一条宽为r的条带。求证：如果要用若干条带覆盖一个直径为d的圆，则条带的宽度之和至少得是d。 A1：升维，把这个直径为1的圆看成是直径为1的球和一个平面的交，一个宽为d的条带升维成了两个距离为r的平面中间夹的区域，这样一个区域和球的交集是一个圆环的形状，神奇的是这个形状的表面积是pi d r相乘，只和宽度r有关，与圆环的位置无关（可以直观想象一下，如果割的是球的中心位置，虽然割出来的体积很大，但是外面那一圈u是比较平的，导致表面积不大；如果割的是球的边缘位置，虽然只割出一个小帽子，但表面是扁的，表面积反而不小）。这些圆环的表面积之和至少是整个球的表面积，也就是pi d d相乘，所以r之和至少是d。 Q2: 假设有四只蜗牛在平面中沿着互不平行的直线路径做匀速直线运动，他们两两之间一共有六对，已知其中五对都曾在某个时间相遇过，求证剩下一对也必会在某个时间相遇。 A2：升维，加入一个时间轴，这样每个蜗牛的路径其实是三维时空（两维空间+一维时间）中的一条世界线，则条件变成了这四条三维时空中的直线中有五对相交，这可以推出这四条线在同一个平面内，且没有平行，所以必然两两相交。
♥ 26 ↩ 2
有没有三维升四维得以证明的，或者说低维中证明不了的，在高维中证明了。
♥ 26 ↩ 9