Ascolcapredonare 2025-12-05 37宝宝不要在网上晒自己，我来考考你，在数学分析中，有一种定义在闭区间上的函数，它需要满足对区间内任意两点以及任意介于0和1之间的实数，都有函数在这两点线性组合处的函数值小于等于该两点函数值的同一线性组合，这种函数被称为凸函数。而与凸函数性质相反的函数，即满足对区间内任意两点以及任意介于0和1之间的实数，函数在这两点线性组合处的函数值大于等于该两点函数值的同一线性组合的函数，则被称为凹函数。对于定义在闭区间【a,b】上的连续函数，如果它在区间(a,b)内具有二阶导数，那么可以通过二阶导数的符号来判断函数的凹凸性：当二阶导数在区间(a,b)内恒大于0时，函数在闭区间【a,b】上是凸函数；当二阶导数在区间(a,b)内恒小于0时，函数在闭区间【a,b】上是凹函数。现在考虑这样一个函数，它定义在闭区间[0, +∞)上，其表达式为自然对数函数，该函数的一阶导数为1/x，二阶导数为-1/x²，由于在区间(0, +∞)内，x²恒大于0，所以二阶导数-1/x²恒小于0。基于凹函数的性质，我们可以得到一个重要的不等式，即对于任意正实数x₁, x₂, ..., xₙ，以及任意非负实数λ₁, λ₂, ..., λₙ，且满足λ₁ + λ₂ + ... + λₙ = 1，都有该凹函数在λ₁x₁ + λ₂x₂ + ... + λₙxₙ处的函数值大于等于λ₁乘以该函数在x₁处的函数值加上λ₂乘以该函数在x₂处的函数值再加上...加上λₙ乘以该函数在xₙ处的函数值，这个不等式就是著名的琴生不等式。当λ₁ = λ₂ = ... = λₙ = 1/n时，该不等式可以简化为自然对数函数在(x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n处的函数值大于等于(自然对数函数在x₁处的函数值 + 自然对数函数在x₂处的函数值 + ... + 自然对数函数在xₙ处的函数值)/n，对这个不等式两边同时取指数，由于指数函数是单调递增函数，不等号方向保持不变，最终可以得到(x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n大于等于n次根号下(x₁x₂...xₙ)。这个揭示了n个正实数的算术平均值与几何平均值之间的大小关系，在这个不等式中，等号成立的条件是所有的正实数x₁, x₂, ..., xₙ都相等。那么，上述通过琴生不等式推导不等式时，所用到的自然对数函数的凹凸性是？ ♥ 670 ↩ 16
现代微积分 2025-12-05 支持[打call]逻辑的剖析比我之前讲的清楚，正好是我研究过的问题，于是就在此分享一点心得以及夹带一点私货[doge_金箍] 对于最后那道例题，这里给出另一种必要性探路的做法(图1)，最终就是求当参数m改变时，函数g(x)的最小值当中的最大者。这里先按m为主元合并同类项，容易得到g(x)图像是恒过定点(π/4,g(π/4))和(3π/4,g(3π/4))的。(这个思路是很简单的，因为仅当m的系数为0时整个值才不会受m影响，这个思路在直线与圆板块求直线系过定点经常用到) 于是这两个点就是需要探路的点(后面会解释原因)，先通过对比函数值保留较小者g(π/4)，于是猜测这就是我们要的临界值。如果在该点处切线斜率≠0，那必然有左/右邻域之一内的函数值＜g(π/4)，这意味着此时g(x)的最小值一定严格＜g(π/4)。(具体取点完善一下步骤就行)而当g'(π/4)=0时，讨论g'(x)正负进而判断g(x)单调性，发现此时g(x)恰好在x=π/4取得最小值g(π/4)。于是综上所述，“最小值”的“最大值”就是定值g(π/4)，这也就是我们要求的结果了。类似的题见见图2(前不久的温州一模)和图3(21年天津卷)，也考察了双量词转化和必要性探路，供感兴趣者练习~ 最后夹带点私货，25年新I卷这道压轴题我之前想到了一个很奇妙的背景，供数学爱好者闲暇之时欣赏[doge_金箍] ♥ 19 ↩ 3
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谁在说话[doge]
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37宝宝不要在网上晒自己，我来考考你，在数学分析中，有一种定义在闭区间上的函数，它需要满足对区间内任意两点以及任意介于0和1之间的实数，都有函数在这两点线性组合处的函数值小于等于该两点函数值的同一线性组合，这种函数被称为凸函数。而与凸函数性质相反的函数，即满足对区间内任意两点以及任意介于0和1之间的实数，函数在这两点线性组合处的函数值大于等于该两点函数值的同一线性组合的函数，则被称为凹函数。对于定义在闭区间【a,b】上的连续函数，如果它在区间(a,b)内具有二阶导数，那么可以通过二阶导数的符号来判断函数的凹凸性：当二阶导数在区间(a,b)内恒大于0时，函数在闭区间【a,b】上是凸函数；当二阶导数在区间(a,b)内恒小于0时，函数在闭区间【a,b】上是凹函数。现在考虑这样一个函数，它定义在闭区间[0, +∞)上，其表达式为自然对数函数，该函数的一阶导数为1/x，二阶导数为-1/x²，由于在区间(0, +∞)内，x²恒大于0，所以二阶导数-1/x²恒小于0。基于凹函数的性质，我们可以得到一个重要的不等式，即对于任意正实数x₁, x₂, ..., xₙ，以及任意非负实数λ₁, λ₂, ..., λₙ，且满足λ₁ + λ₂ + ... + λₙ = 1，都有该凹函数在λ₁x₁ + λ₂x₂ + ... + λₙxₙ处的函数值大于等于λ₁乘以该函数在x₁处的函数值加上λ₂乘以该函数在x₂处的函数值再加上...加上λₙ乘以该函数在xₙ处的函数值，这个不等式就是著名的琴生不等式。当λ₁ = λ₂ = ... = λₙ = 1/n时，该不等式可以简化为自然对数函数在(x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n处的函数值大于等于(自然对数函数在x₁处的函数值 + 自然对数函数在x₂处的函数值 + ... + 自然对数函数在xₙ处的函数值)/n，对这个不等式两边同时取指数，由于指数函数是单调递增函数，不等号方向保持不变，最终可以得到(x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n大于等于n次根号下(x₁x₂...xₙ)。这个揭示了n个正实数的算术平均值与几何平均值之间的大小关系，在这个不等式中，等号成立的条件是所有的正实数x₁, x₂, ..., xₙ都相等。那么，上述通过琴生不等式推导不等式时，所用到的自然对数函数的凹凸性是？
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碳皇何时用爱困斯碳形式出击，万人血书（1/10000）
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颜之有理！
♥ 122 ↩ 2
虽然上大学了，但是还是喜欢小蛋糕老师
♥ 88 ↩ 2
只记得看up美美cos了，现在极限考研怎么办
♥ 81 ↩ 4
这期讲的真好种草了，应该是b站第一个讲的了之前搜混合量词没找到过👍
♥ 75 ↩ 3
只有我真的又吃老师的颜又吃老师的声音吗[汤圆]
♥ 69 ↩ 1
碳皇何时用爱困斯碳形式出击，一人血书
♥ 56 ↩ 8
[热词系列_爷关更]
♥ 55 ↩ 19
@爱因斯碳碳碳 12.20为啥取西塔＝5π/6啊？还有令a＝帅0，得x0的范围再放缩不好想（居然看了一个多小时）
♥ 28 ↩ 5
支持[打call]逻辑的剖析比我之前讲的清楚，正好是我研究过的问题，于是就在此分享一点心得以及夹带一点私货[doge_金箍] 对于最后那道例题，这里给出另一种必要性探路的做法(图1)，最终就是求当参数m改变时，函数g(x)的最小值当中的最大者。这里先按m为主元合并同类项，容易得到g(x)图像是恒过定点(π/4,g(π/4))和(3π/4,g(3π/4))的。(这个思路是很简单的，因为仅当m的系数为0时整个值才不会受m影响，这个思路在直线与圆板块求直线系过定点经常用到) 于是这两个点就是需要探路的点(后面会解释原因)，先通过对比函数值保留较小者g(π/4)，于是猜测这就是我们要的临界值。如果在该点处切线斜率≠0，那必然有左/右邻域之一内的函数值＜g(π/4)，这意味着此时g(x)的最小值一定严格＜g(π/4)。(具体取点完善一下步骤就行)而当g'(π/4)=0时，讨论g'(x)正负进而判断g(x)单调性，发现此时g(x)恰好在x=π/4取得最小值g(π/4)。于是综上所述，“最小值”的“最大值”就是定值g(π/4)，这也就是我们要求的结果了。类似的题见见图2(前不久的温州一模)和图3(21年天津卷)，也考察了双量词转化和必要性探路，供感兴趣者练习~ 最后夹带点私货，25年新I卷这道压轴题我之前想到了一个很奇妙的背景，供数学爱好者闲暇之时欣赏[doge_金箍]
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好耶是37数学[星星眼]
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终于更高考了，高三生狂喜，这种双重量词题目没做对过[元梦_大哭]
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1071119164主播建的QQ群，欢迎加入[打call]
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知识真的会很好的包装一个人。就算不cos也很漂亮[给心心][给心心][给心心]
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Cos37怎么还背过去呢？[辣眼睛]
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声线比较细
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已经大一了[打call][打call][打call]，感谢碳碳一路相陪伴[2024拜年纪_打call]
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