天天emo的屑 2026-02-17 这题sin(x^a)>(sinx)^a可以 化成f(x)=lnsin(x^a)-alnsinx>0 令f'(x)>0揍同构:得h(x)>h(x^a),h(x)=(tanx)/x 易知:∀x∈(0,π/2)，h'(x)>0， 故充分必要性均为a>1，(充分性直接证，必要性反证设存在a≤1满足条件直接导出矛盾结束了) 第二问就秒杀了得a>1。 第三问一眼先判断有b<π/2(但不一定是结果)，因为b≥π/2时f(π/2)≥0肯定不行，这样就可以放心用h(x)的单调性来求b的范围了，然后由第二问得b∈(0,1]成立， 这一问同样条件为f(x)>0恒成立，而a>1时可用第二问同构求出单调性f(x)，故∃a>1，使得f(b)≥0，发现当1<b<π/2时，总∃a=log(b为底数)(π/2为真数)>1使得b^a=π/2即f(b)>0，结合前面的判断，故b∈(0,π/2)为充分必要条件。 ♥ 9 ↩ 1
Comments
被出题水平震惊到了，真的比某些特级教师的命题水平高多了
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历来几届我们星火杯出题质量最高的一次了[笑哭][笑哭][打call][打call]
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我要笑死了，来导来导来
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第二问这样异常简单（） 第三问只要把点找到了就秒了（？
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宝子这是难度接近新一卷吗[笑哭]
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星火/神算命题组松松路过[星星眼]
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这题sin(x^a)>(sinx)^a可以 化成f(x)=lnsin(x^a)-alnsinx>0 令f'(x)>0揍同构:得h(x)>h(x^a),h(x)=(tanx)/x 易知:∀x∈(0,π/2)，h'(x)>0， 故充分必要性均为a>1，(充分性直接证，必要性反证设存在a≤1满足条件直接导出矛盾结束了) 第二问就秒杀了得a>1。 第三问一眼先判断有b<π/2(但不一定是结果)，因为b≥π/2时f(π/2)≥0肯定不行，这样就可以放心用h(x)的单调性来求b的范围了，然后由第二问得b∈(0,1]成立， 这一问同样条件为f(x)>0恒成立，而a>1时可用第二问同构求出单调性f(x)，故∃a>1，使得f(b)≥0，发现当1<b<π/2时，总∃a=log(b为底数)(π/2为真数)>1使得b^a=π/2即f(b)>0，结合前面的判断，故b∈(0,π/2)为充分必要条件。
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完啦，我就取对数
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分享一个[doge]
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这个题考的时候就感觉似曾相识，虽然还是不会[笑哭]是在什么地方出现过吗[思考]
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沉浸式享受Santa声音
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无人在意我这个边缘化的飞舞[doge]
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比19难，考场上移项复合函数求导探了下a＞1就跳了[笑哭]
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第二问根本找不了端点[笑哭]
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看到这题就对自己准备干独立老师这件事情灰心丧气
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Gemini解法
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做到这题就感觉好不对劲，直接不考了。
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[脱单doge]
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主要难度在判断取等 同时决定着下面的答案和讨论
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