【官方双语】这个未解之谜为我打开了拓扑的大门

语文课代表：“治丝益棼”（zhì sī yì fén）意思是理丝不找头绪，结果越理越乱。比喻解决问题的方法不对头，反而使问题更加复杂[doge]

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十年过去，我仍然觉得3B1B是深入浅出科普领域的天花板，甚至没有之一。 他的讲解总会精准命中我那种自然朴素的联想，然后有用形象准确的语言解答，最后延伸到一个从没了解过的领域和角度。 远远没有我在一些量子类科普里那种早就懂的道理然后只是很小的角度改变就拿出来的科普，是真正的给我打开了无数道科学的大门。

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我看到有观众问“这样的定理到底有什么用”？这样的疑问我也经常收到，比如讲p进数距离这种优美但乍一看纯属玩物的东西。 一个简单的回答是，因为它就在那里，有趣、深刻、自成一体，满足我们对知识的好奇。但很多人并不买账，那我给一个更高的回答： 因为它是永恒存在的。 永恒存在，意味着它不受任何政治、社会、文化、文明甚至宇宙和物理的影响，速朽的肉体和大脑在此刻通向了永恒。又因为它涉及整个宇宙运行最底层最不为“人”所撼动影响的规律，所以对它的把握能让我们成为这个“宇宙地球online”真正通晓底层规则的玩家。非欧几何一开始也被很多人说荒诞不经，纯属玩弄公理的邪说，直到很久之后才发现和广义相对论的四维时空不谋而合。 我们说的“有用”，背后总有农业文明“经世致用”的功利色彩，得服务于生产甚至是直接转化成食物和财富。可哪怕是最高级的经世致用在永恒面前依然是速朽和可笑的人为，这就是为什么真正的学术和科学研究，必须是非功利的“纯粹知识好奇”，无用之用将在未来以你无法理解想象的方式成为大用

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对你们可能没用，但我有个课题还真的可以使用这种方法，之前是通过散点拟合外边界然后通过类物理仿真膨胀方法，性能拉的一批，用这种方法性能直接提升几十倍啊

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拓扑学小知识：拓扑学家们常常会用甜甜圈来装水，并在下午茶时间享用他们的马克杯。

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实际上这个问题更常见的称呼（也就是 Greene & Lobb 在论文中的称呼）是 Square Peg Problem，有很多知名数学家对此作出过有意思的贡献[Cat_coffeebath][Cat_study] 至于后面的那个证明，我觉得一个更简单点的思路应该是把下面的底面和上面的曲面放在一起考虑是否自相交的问题，而在莫比乌斯带的边缘贴上一个圆盘就是克莱因瓶（这利用之前的示意图同样不难看出），另外，很有意思的一点是，应用这种示意图就能直观地证明出二维闭曲面分类定理，环面就是其中一个基本的类型 关于莫比乌斯带，还有一个最近的有趣事实来自于 R. E. Schwartz，他表明了一张能制成莫比乌斯带的纸片长宽比不小于 √3，论文链接如下，写的也相当直观，有人有兴趣的话或许也可以水个视频[Cat_escort]： https://www.math.brown.edu/reschwar/Papers/optimal.pdf

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看完问题很自然地联想到了学高数时那个问题，证明证明在连续光滑（不平整）的地面总能使四条腿的桌子放稳当。

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我证明了内接三角形的情况！！！[妙啊][妙啊][妙啊]

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孩子们，我看不懂😭

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拓扑学（Topology）研究物体在连续变形（拉伸、扭曲、不撕裂）的情况下保持不变的性质。根据拓扑等价的概念，拓扑学规定了一些基本类型的物体，包括： 1. 连通性（Connectedness） 连通空间（Connected Space）：不能被分割成两个不相交的开集。 路径连通（Path Connected）：任意两点间可以用连续路径连接。 2. 紧致性（Compactness） 在有限区域内不会无限扩展，类似于“封闭且有界”的概念。 3. 可定向性（Orientability） 可定向（Orientable）：有明确的“内外”方向，例如球面、圆环。 不可定向（Non-orientable）：没有明确的内外，例如 莫比乌斯带（Möbius strip） 和 克莱因瓶（Klein bottle）。 4. 基本类型 流形（Manifold）：局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间，例如球面、圆环、克莱因瓶等。 单连通 vs. 多连通： 单连通（Simply Connected）：没有“洞”，比如球面 多连通（Multiply Connected）：有“洞”，比如圆环

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更新间隔最短的一集

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这个问题和3B1B之前发过的一个很像吧，而且同样使用了拓扑解法，就是那个证明地球上存在两个地方刚好相对地心对称，且拥有相同的温度和压强

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“古希腊几何学家阿波洛尼乌斯总结了圆锥曲线理论，一千八百年后由德国天文学家开普勒将其应用于行星轨道理论。 数学家伽罗华公元1831年创立群论，一百余年后获得物理应用。 公元1860年创立的矩阵理论在六十年后应用量子力学。 数学J。H莱姆伯脱，高斯，黎曼，罗马切夫斯基等人提出并发展了非欧几何。高斯一生都在探索非欧几何的实际应用，但他抱憾而终。非欧几何诞生一百七十年后，这种在当时毫无用处的理论以及由之发展而来的张量分析理论成为爱因斯坦广义相对论的核心基础。 何夕提出并于公元1999年完成的微连续理论，一百五十年后这一成果最终导致了大统一场理论方程式的诞生。”世界沉默着，为了这些伤心的名字，为了这些伤心的名字后面那千百年的寂寞时光。 这段话出自何夕的《伤心者》，是一篇中短篇小说，这几个例子中只有最后一个是作者写的主角。老实说这篇小说毛病不少，但仍然值得一读，尤其这段话更是可以回答一些弹幕的问题。

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B站多给我推点这种，别给我推石了[点赞]

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这个视频的内容以前讲过啊[思考]我记得很清楚，当初这个视频把我骗过去学拓扑，然后学得一塌糊涂[委屈]

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学校里学得最差最差的学科同时也是最讨厌的学科就是数学。无数个夜晚对着数学作业落泪的我心里却依然深深知道，如果我不用学习这些，或者说我不被要求用数学成绩证明自己的话，我真的会很喜欢数学的思维和一切有趣的东西，包括学不起来的物化理科。我讨厌学习这些学科的同时不妨碍我依然对他们的理论知识和各种奇思妙想的课题证明感兴趣。或许这也是我依然爱看这种视频的原因吧[微笑]

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再看一遍依旧是颅内高潮（ 这个视频讲的非常清晰，但是我个人有几个小疑问： 视频中的内容应该如何严谨的描述，证明呢？或者说数学语言是怎样的？拓扑学的语言能否脱离图像来给出完整的证明过程？ 另外，在具有一定的高等代数，图论基础下，有没有什么比较适合入门拓扑学的书籍，读物？ 感谢大佬解答！QwQ

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很难想象在没有三维可视化工具前数学家是怎么研究出来这些玩意的

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虽然听起来绝对会很破坏气氛，但我还是忍不住想问：“这个问题的证明到底有什么用？”作一个内接正方形这件事并不像我们已有的一些问题能够成为一般物理学世界里的映射，他同样也很难被套用到纯粹的数理问题上，在证毕后作为数学工具以起到对其他学科的作用。那么刨除那些“因为山就在那里”的论调，我们研究这个问题的意义是什么呢？

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我从小就讨厌数学，小学学鸡兔同笼的时候就很奇怪为什么不能直接抓出来数，初高中学函数的时候会钻牛角尖这个公式到底是怎么得出这样的结果的？大学听了老师家长的话学了计算机，我又开始钻牛角尖想不明白这个代码到底是怎么运行的，但因为我很笨，我想不明白就会进入死胡同，出不来。对我而言，某些需要逻辑思维的问题就像一个黑箱，我总想去打开它去看看它到底是怎么个事，他怎么就能得出这个令我如此不解的答案。 毕业一年后我跟我堂哥学了产品设计，开始对3D建模产生了浓厚的兴趣，因为它直接直观，我这样画就一定有这样的结果，这个过程清晰明了。最后得到的答案如果不符合我的想法，那一定是某个步骤出了问题，而这个问题寻找起来的难度，在清晰明了的过程中毫无难度。 我真的很笨，非常笨，笨到需要有人一步步来给我解释清楚我才能大概理解这一切。但我又很喜欢看这种数学视频，喜欢别人一步步把复杂的问题剖开来展示给我看。对我来说数学其实是一个美妙但又讨厌的东西，我讨厌自己无法理解这个结果，但只要有人能给我讲清楚，帮我打开这个黑箱，我又会被这个神奇又巧妙的过程吸引，从而感叹这些人真是厉害。

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