【故事新编】冲刺千粉！看看二十年前的超前对数均值不等式导数压轴！原创试题？为爱发电！2005年湖南江苏卷！

主包以后试卷能搞进一整个文件夹不[给心心]

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这歌配这套卷压迫感太有了

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好用心的视频！

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最后一问，设公切线分别与f(x)，g(x)相切于x1，x2，切线方程y-lnx1 ＝1/x1 ×(x-x1)等价于y-0.5ax2²-bx2＝(ax2+b)(x-x2)，整理得① . ax2+b＝1/x1，②. -0.5ax2²＝lnx1 -1，因为a＞0，x2²≥0，所以lnx1 -1≤0→0＜x1≤e。有唯一公切线，即无论a取何正值，有唯一一组x1，x2满足条件。 必要性探路: 显然当x2＝0时，②式不受a取值的影响，得x1＝e，b＝1/e。以下严格证明切点不为0和e时也成立: ①式代入②，消去x2得(b- 1/x1)²＝2a(1-lnx1)≥0，有唯一公切线即无论a取何正值，总有唯一的x1∈(0，e］使得等式成立。x1＝e时，右边＝0，左边＝(b- 1/x1)²＝0即b＝1/e，符合题意； 0＜x1＜e时，即2a＝(b- 1/x1)²/(1- lnx1)对于任意a＞0总有唯一解，即G(x)＝(b- 1/x)²/(1-lnx)在(0，e)单调且值域为(0，+∞)。 先证必要条件: 0＜x＜e，(b- 1/x)²≥0，l-lnx＞0，b- 1/x＜b- 1/e。当b＞1/e时，存在x＝1/b∈(0，e)，使得G(x)＝0；由洛必达法则及无穷大/有界/无穷小运算法则，x→0，G(0+)＝lim x→0+ 【2(b- 1/x)× 1/x²】/(-1/x)＝lim x→0+ 【2(1/x -b)/x】＝+∞/0+(正无穷大除以正无穷小)＝+∞，G(e-)＝(b- 1/e)²/0+＝有界/正无穷小＝+∞，2a＝G(x)至少有两个解，不合题意； b≤1/e时，求导后因数分解，其中b- 1/x＜0恒成立，不能直接判断符号的那部分构造函数讨论，得出其单调递减，值域(b- 1/e，+∞)，分b＝1/e和0＜b＜1/e两种情况讨论。剩下的直接上图，写在纸上了。 同时带着参数a，b构造函数H(x)＝(b- 1/x)²-2a(1-lnx)，定义域为(0，e］也可以做，H(e)＝0对应两个切点分别为0和e的情况；当切点不为0和e时，即f(x)的切点0＜x＜e时，H(x)在(0，e)有唯一解。找点，证明极小值小于0也比较繁琐。 我宁愿参变分离后转化为单调性和值域同时满足的问题，结合导数和洛必达法则来做[doge]

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来啦[星星眼]