Description
我们怎么能做无穷多个选择？
审核： Arukas E
额外翻译、审核、时轴、后期处理：Alice Zhang (Origami Alice)
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非常感谢 Asaf Karagila 博士、Alex Kontorovich 教授、Joel David Hamkins 教授、Andrew Marks 教授、Gabriel Goldberg 教授和 Elliot Glazer 教授为本视频提供的宝贵专业知识和贡献。
在我们的 Patreon 上能了解本视频动画和插图的制作过程 - https://www.patreon.com/posts/patreon-behind-126443880
选择公里参考文献：<要想获取参考文献，请私信！>
导演：Kaela Albert
写作：Kaela Albert、Emily Zhang
编辑：Jack Saxon、Luke Molloy
编辑助理：James Stuart
动画：Fabio Albertelli、Andrew Neet、Alex Zepharin、Mike Radjabov、Emma Wright、Ivy Tello
绘画：Jakub Misiek、Maria Gusakovich、Cainejan Esperanza、Tommy A. Steven、Emma Wright
额外调查：Emilia Gyles、Gabe Bean、Geeta Thakur、Vincent Cheng
出品团：Kaela Albert、Casper Mebius、Derek Muller、Emily Zhang、Zoe Heron、Rob Beasley Spence、Tori Brittain
额外编辑：Luke Molloy、James Stuart
封面设计：Ben Powell、Peter Sheppard、Ren Hurley
额外图片、动画来自 Getty Images and Storyblocks
音乐来自 Epidemic Sound
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资助页面：www.patreon.com/veritasium
如果想要一套原子模型，可以尝试一下我的磁铁原子模型：https://snatoms.com/
The Man Who Almost Broke Math (And Himself...); (https://www.youtube.com/watch?v=_cr46G2K5Fo)
* YouTube 上发布时间：4月2，2025
Comments
麻烦了，现在真理元素一说随机数，我就只能想到37
♥ 4436 ↩ 66
数学界不能没有我 你问我是谁？我曾经在考场上列等式算出了x＝x[大笑]
♥ 3375 ↩ 75
选择公理，不太像真的 良序定理，肯定是真的 佐恩引理？那是什么 什么你告诉我上面三个是定价的？
♥ 954 ↩ 16
选择公理其实和相当多命题等价，很常用的一个是zorn引理。而且无论承认与否，其实都能推出奇妙的悖论。 此外不信邪的b友可以试试证明“任何线性空间都具有基”这个命题。对，就线性代数那边，符合八大性质的，被称之为线性空间的玩意。主要是无限维线性空间的基的存在性[doge_金箍]
♥ 672 ↩ 26
我靠，昨天刚看到选择公理难以理解，是上帝在视奸我吗
♥ 566 ↩ 10
kronecker还说过一句著名的话：“god创造了整数，其他一切都是人的工作”
♥ 582 ↩ 55
14：10这里是个非常不尽人意的地方，序数的概念被一笔带过，这个ω就和魔法一样，ω,ω+1,...然后呢？序数这个主题貌似一直就没有令人满意的科普视频，包括Vsauce那个经典视频也不清晰，在学教材前我还一直有“基数就是增加ωε这些字符的玄学操作”这种印象。希望这方面将来有更好的视频出现！
♥ 420 ↩ 29
没太懂为什么把一个球拆成两个球会是个悖论。 比如，很容易把自然数集合拆成奇数集合和偶数集合，然后这俩集合都跟自然数集合“一样多”。这跟把一个球拆成俩球有啥区别吗？
♥ 334 ↩ 34
视频里这个问题，也是现在众多高校和中学(不是全部)无法系统性教授zfc集合论的原因之一，更不要说高中的集合论一塌糊涂了 事实上，打开你手边的任何一本数学教程类书籍，几乎没有几本书不是从集合论或者类似的内容讲起(class阿，测度阿，无论它们叫什么)，那么为什么不单独开一门深度而全面的集合论课程呢，一个显而易见的答案是课时过短(虽然这个原因我觉得.....并不是课程的问题)另一个原因是没必要，因为几乎每一本书的集合内容都会侧重于本门课程进行比较独特的阐述，第三个原因就是选择公理过于抽象了()，有时候你无法让另外一个人类接受这件事，这太难了....
♥ 443 ↩ 12
这就是在说，数学是什么样子的完全是你自己规定的，你自己规定了公理，那么数学就像你规定的那样表现出来。
♥ 375 ↩ 29
关于巴拿赫-塔斯基悖论（分球悖论），B站还有搬运Vsauce的更详细的解说视频，字幕双语【分球悖论：一个球变两个球（巴拿赫-塔斯基悖论）【双语字幕】-哔哩哔哩】 https://b23.tv/iruGIbb
♥ 242 ↩ 5
公理系统让数学从发现变成了发明，变成了一种很有意思的游戏而不是真理探索。 不过说实话选择公理对我来讲挺难接受的，因为我总想知道这个构造到底长啥样，你只告诉我有这么一个构造就很抽象。
♥ 271 ↩ 16
frechet和lebesgue那个（27:28）很搞笑，显然实分析学家很讨厌选择公理（Vitali集，坏），而泛函分析学家很喜欢选择公理（Hahn-Banach，好）[doge]
♥ 182 ↩ 1
不要被“计算机无法生成随机数”这句话误导了，“无法生成”不代表“无法获取”
♥ 280 ↩ 45
视频开头说计算机不能模拟真随机，那现实里有真随机吗？🤔
♥ 164 ↩ 57
友情提示，各位想反驳现代数学的，请先随便买一本概率论基础，实变函数，测度论等书，即使你不认可，也可以带着优越感地“看懂”再来扯皮，否则很招笑的[笑哭]
♥ 140 ↩ 6
有个点一直满困扰我的，可能有点跑题，就是1=0.9(9无限循环)，我看了很多关于他俩相等的论证，但是还是有些不能接受。有一种数字间比大小的方式，就是看数字的高位哪个大，就比如说100和99，他们百位以前的高位都为0，都相等，但是在百位上，100是一，099是零，所以100比99大；那么这样来看，0.9(9无限循环) 的个位是0，是小于1的，所以1>0.9(9无限循环)。或者说这种数字比大小的方式是有问题的？
♥ 150 ↩ 89
关于无穷概念的讨论能够分辨一个人是杠精式的民科还是真的讲学术的人[呲牙]
♥ 121
要是说毁掉数学，只需要证明一个概念就可以把现有数学体系炸个稀巴烂[doge]。 都知道代数数是有理方程的根（类似x²=2的解），有理方程是可数的所以代数数都可数（无理数的一部分是可数的）。 目前超越数被认为是不可数的，但是有一种运算（四级运算，写作ⁱa=a^a^a^…，i、a都是代数数）当i=2，a=√2时，ⁱa是一个超越数[doge]。 这说明一部分超越数也是可数的，那么是否所有的超越数都能表达为ⁱa（i，a为代数数）的形式？如果能，超越数整个集合就是可列的，现有数学体现就会炸个稀巴烂。 如果不能，就需要找到一个超越数，它不能表达为ⁱa的形式，但人类对四级运算几乎没有研究，无法计算出i为非整数的情况。
♥ 200 ↩ 18
选择公理对于一些定理的证明是必要的，比如 1. 对任意两个集合X和Y，如果X到Y有满射，那么Y到X有单射 2. 可数个可数集的并可数 3. 对任意两个集合X和Y，X到Y有单射或Y到X有单射 4. 任何无限集合都存在一个可数子集 ……
♥ 105 ↩ 5