一场看似公平的数学游戏：为什么胜负早已注定？
合集 · 分析学 (3)
Description
终于是想起来账号密码了~ 视频的源代码已全部开源： https://github.com/Vivasity/Manim_Projects BGM： The Well-Tempered Clavier, Book 1Prelude and Fugue No. 1 in C major, BWV 846 - Sviatoslav Richter
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Comments
📝总结一下：1. 闭区间套定理：一列长度趋于0的嵌套闭区间，交集唯一确定一个实数，这是实数系完备性的体现。 2. 有理数可列性：有理数可被逐个列出，这是丙丁获胜的关键——每轮排除一个有理数，无穷轮后所有有理数均被排除。 3. 丙丁必胜策略：利用有理数可列性，甲乙选区间后，丙丁选不包含当前排除有理数的子区间，最终交集必为无理数。 4. 无处稠密集：集合在任意小的区间内都无法占据完整子区间，如单点集、整数集、康托尔集。 5. 第一纲集：可数个无处稠密集的并集，虽然可能元素众多，但可被逐层剥离至空。 6. 贝尔纲定理：实数集（完备度量空间）不是第一纲集，即不能表示为可数个无处稠密集的并，这源于实数轴无“洞”的完备性。 7. 完备性的核心作用：支撑单调有界收敛、闭区间套、贝尔纲定理等，揭示“数量多不等于占空间多”，真正庞大的是能处处站住“一小块”的集合。 关注我，然后@我，即可总结！ 获取视频逐字稿和PPT就上Ai好记，aihaoji.com 使用【0sv4】邀请码注册可获得额外奖励哦
♥ 6
说一个简化但好理解的版本，整数位是0，一个人填写小数点后第奇数位，一个人填写小数点后第偶数位，最终是有理数第一个人赢，是无理数第二个人赢，问谁有必胜策略。 答案是第二个人，只要它自己填的不是循环的，那整个数就一定是无理数
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很多人恐怕连这个游戏也无法理解吧：我每轮报一个实数，不停地报，无穷轮之后由你说出一个实数，但无论你说个什么实数，我都能保证曾报过更大的数[doge]不过能理解这个游戏的也就不会在评论区里质疑了吧
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@axpokl 非要给出严格定义你才看得懂吗 定义闭区间集合X为{【a,b】|a,b∈R,a<b} 定义长度函数l:X->R为l(【a,b】)=b-a 定义甲乙方策略σ0为函数{∅}∪{(n,V)|n∈Z+,V∈X}→X 满足对任意n∈Z+,V∈X,都有σ0((n,V))⊆V且l(σ0((n,V))≤l(V)/2 定义丙丁方策略σ1为函数{(n,U)|n∈Z+,V∈X}→X 满足对任意n∈Z+,U∈X,都有σ1((n,U))⊆U且l(σ1((n,U))≤l(V)/2 对于一个甲乙方策略σ0和和一个丙丁方策略σ1 可以生成一系列的闭区间 U1=σ0(∅),Vn=σ1((n,Un)),U(n+1)=σ0((n,Vn)) 根据闭区间套定理,存在实数x使得∩{Un∩Vn|n∈Z+}={x} 若x∈Q,则甲乙胜,否则丙丁胜
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我数学不好于是跟gemini讨论了下这个问题，以及这个问题为什么很不符合直觉。 作者在评论区靠时间无限分割没有解决实质问题，如同 @axpokl 老哥所说，人为设定每次操作时间为1/2^(-1)只能说明如果游戏可以结束会在两秒内完成，但游戏是否可以结束结论是谁必胜与该条件无关。我认为这本质上是对“博弈”，“必胜”以及胜负判定函数的定义问题，本题目所述的“博弈”与传统博弈论有许多不同，直白点说，这个问题探讨的“博弈”（或者说"拓扑无穷博弈”）甚至写不出SG函数。 我从比较不需要数学的角度讲一下我的理解--不过可能需要一点算竟中常用的博弈论知识，不算深入。我不大清楚为什么非要使用甲乙丙丁四个人，我们这里就简化为甲（有理数）乙（无理数）。 我们令甲乙轮流选择他们的区间，并将其选择的区间作为当前游戏的“状态”形成该游戏的状态序列a，这个序列理论上是可数无穷的，现在我们用通常博弈论的思路去思考如何满足乙必胜。如果我们认为乙必胜，换而言之，处于一个“必胜”状态，那这个“必胜”状态必须可以通过乙一次操作（一次“状态转移”)变为甲的一个“必败”状态（同理甲的“必败”态需要满足其所有状态转移的结果都是乙的必胜态）。所以如果乙必胜，则序列a中必然会出现甲的必败态。 将理论带回实际问题，甲最自然或者说基础的必败状态为拿到的区间中不存在有理数（比如拿到了个无理数点）。但由于对实数轴上任意未退化成点的区间内都具有无穷个有理数（稠密性导致，我是不会证就是了），这个必败状态必然不属于序列a，同样根据稠密性，我们无法构造任意指向该必败态的状态转移，所以我们无法找到任何其他甲的必败态。所以序列a中不存在任何甲的必败态，也就是说不存在乙的必胜态，乙必胜自然为假。当然也可以根据无理数稠密性反着证一遍甲必胜为假。
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还是没太看懂，确定不是supertask吗[笑哭]
♥ 2
这个Baire纲还有许多奇怪的结论，比如存在一个测度为1的第一纲集且是单位区间的子集，Baire纲在泛函分析里也有很大的用处
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看了眼评论,我就知道我不属于这里[笑哭]
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Banach-Mazur游戏
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任选一个无理数r，将Q平移r后得到集合Q’，现在定义新游戏：最终剩的数属于Q则甲乙赢，属于Q'则丙丁赢，否则平。由于新游戏双方完全对称，故都无必胜策略，且有必平策略，而平就是原游戏丙丁赢[doge]
♥ 28 ↩ 4
显然丙丁是必胜的，因为每一步丙丁都可以选择一个符合条件的【k/m,(k+1)/m】，从而这个区间不含分母小于m的有理数，m递增趋于无穷，所以闭区间套的交不是有理数
♥ 17 ↩ 11
又是无限博弈（）
♥ 7 ↩ 1
假设游戏结束且丙丁必胜，那么丙丁一定选取了一个区间【a,a】，a为无理数，所以丙丁只取了一个点而非区间，那么甲乙只需要在之前任何一轮取一个有理数即可。以此类推先手必胜[吃瓜] 因此要么丙丁不是必胜，要么游戏无法结束[吃瓜]
♥ 3
餐厅服务员：mmp老子还要下班
服务员：？
哇，up这视频做得好细致，也很清晰易懂，支持！[打call][打call]
♥ 1
先手直接选一个包含有理数的单点集不就行了[热词系列_知识增加]
♥ 8 ↩ 9
要是有办法在有限时间内构造出无限的闭区间套并且还能判定有理性的话，那么也就不用纠结谁先付钱的事情了，这超图灵的计算能力足以破解所有非对称加密，也就不用付钱了
@bili_47163313985
甲乙先手，他直接选一个有理数点当做选定的区间怎么样？还有，这个游戏，什么时候结束呢？
♥ 2 ↩ 4