为什么圆的所有弦，构成一个莫比乌斯带？
合集 · 近代数学 (3)
Description
这期视频来详细讲清一个在上一期视频中提到、但很多朋友感到陌生的结论：圆的所有弦所构成的空间，同胚于莫比乌斯带。 视频里我们会从最基础的参数化开始，把“圆上一对端点”对应到一个正方形中的点，再解释为什么要沿对角线去掉重复，为什么两条直角边上的点还要继续视作相同，最后一步步把这个“弦空间”变形成莫比乌斯带。
这期视频来详细讲清一个在上一期视频中提到、但很多朋友感到陌生的结论：圆的所有弦所构成的空间，同胚于莫比乌斯带。 视频里我们会从最基础的参数化开始，把“圆上一对端点”对应到一个正方形中的点，再解释为什么要沿对角线去掉重复，为什么两条直角边上的点还要继续视作相同，最后一步步把这个“弦空间”变形成莫比乌斯带。
Comments
不建议学习拓扑，学完之后会分不清甜甜圈和杯子。
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简单写了个可视化[doge] https://www.desmos.com/calculator/48immeo72t
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唔，感觉“同胚成莫比乌斯带”那部分对没学过拓扑的人这样讲（什么剪开，等同，拼接的）还是很难理解，但对学过一些拓扑的人又是不言自明的[笑哭]
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是不是3b1b做过类似的内容，甚至折叠方式都是类似的来着？[藏狐]
♥ 73 ↩ 5
怎么感觉哪里看过
♥ 52 ↩ 5
莫比乌斯环的边界对应弦长为0的弦，建议扣掉，也就是说弦长为0的弦算不算一根弦影响整个空间的开闭
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[doge]不学好拓扑学，你就会像他们一样： BV1pv411V7jg
♥ 44
于是我们就构造出来了一个电子~~~~[星星眼]物质的本质就是“自我圈禁的光”，以电子为例： 1. 光是横波，它有两个正交的波动分量（偏振方向）。在空间介质中，光波的两个正交分量只要稍有不平衡或者稍有扰动，就会拧成“麻花”。 2. 当麻花光波的能量足够高，且在某些高能事件中首尾180°翻转闭合时，就形成一个”莫比乌斯环“。 - 环的周长等于光波的半个波长。 - 环上有两个正交分量，因为莫比乌斯环把两个面连通成单侧曲面，使这两个分量可以均匀分配能量，于是强制振幅相等、相位差90°，形成稳定的圆偏振闭合光场。 3. 为什么莫比乌斯环稳定，而普通圆环不稳定？- 普通圆环：光绕一圈相位复原，电偶极矩周期性振荡，会向外辐射能量，很快衰变耗散。 （实际上普通圆环几乎就没法自然形成，也无法在低能环境下自我维持，因为它缺少一个“自聚焦”的能量势阱，所以只会重新变成光跑掉） - 莫比乌斯环：光绕一圈后偏振方向反转（极性翻转），再绕一圈才复原。一个完整拓扑周期内，辐射贡献正负抵消，实现零辐射自我保护，因此电子可以永久稳定存在。 -在莫比乌斯环的中心处，正交分量严格相位抵消为0而形成一个0波动的“相位奇点”，这是电子的“绝对核心”。外来干扰源接近这个“相位奇点”，就会使正交分量偏离“完美抵消”而释放出能量，越接近“相位奇点”，能量释放越高，于是在对撞机实验观测中，电子就表现为一个“点粒子”——实际观测到的是这个“相位奇点”。 4. 自旋1/2的几何起源光绕莫比乌斯环一周，振动方向反转（相当于自旋投影反向），需要两圈才能回到初始状态。因此角动量被“均分”为ħ/2，这就是电子自旋1/2的由来。同时，两个分量的磁矩不会抵消，而是叠加，导致朗德g因子≈2（精确值2加上真空极化小修正）。 5，莫比乌斯环有一种更复杂的“高阶形态”——三叶结，可以视为三个莫比乌斯环相互联通、缠绕、交叉嵌套。三叶结结构可以圈禁更多的光子能量，其低能环境下的稳定形态就是质子，其“高能环境适应态”对应中子。
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弦被当做标量，如果当成向量，会发生什么？
♥ 36 ↩ 3
終於有人把拓撲(pū)讀對了！！！可喜可賀！！！聽到太多讀成pǔ的了[笑哭][笑哭]
♥ 46 ↩ 8
学了拓扑以后，病友逢人就夸我精神多了[微笑]
♥ 34 ↩ 2
好有趣，高中毕业再也没学数学了，谢谢up让我重新感受到数学的乐趣[给心心][给心心]
♥ 17 ↩ 3
up讲得很好，那我推荐几个拓扑学视频 3B1B的【【官方双语】这个未解之谜为我打开了拓扑的大门-哔哩哔哩】 https://b23.tv/uX7HxRu 以及个人正式学习拓扑学的入门视频，虽然现在只能试看了 【（60集全）大制作！点集拓扑学课程全解（尤承业、Munkres）-哔哩哔哩】 https://b23.tv/2gsLHBP
♥ 17 ↩ 1
能回头讲讲得到的这个带会怎么对应原来圆上的弦吗？[笑哭]
♥ 16 ↩ 5
弦空间按照分类依据应该可以构建出很多种，例如夹角和与圆心距离也可以构成一个弦空间。是否任一一种弦空间都同胚于莫比乌斯环？[doge]
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大家都不想当数学家物理学家，那我也不当了
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这种动画是用什么软件做的？
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看到三角形就想到3b1b的那个内接正方形了
♥ 6
看视频看到一半，我的理解思路和UP主出现了分歧。 个人从直觉上出发，我觉得莫比乌斯带的拓扑结构最大的特点不在于UP主讲的“传送点”“等效边”诸类，而在于莫比乌斯带只有一条”单向的边界“，从这个边界跃出之后，就去到莫比乌斯带之外了。故而视频中画出表示弦的那个三角形时，两者共同的特征已经出现了。 同样，用这个特征去解释弹幕中的一个问题”这个弦的图形不是应该变形成一个圆锥吗“，乍看之下，这个问题似乎是成立的，但圆锥的底边实际上不是一个”单向的边界“，它更像是从圆锥表面上扣掉了一条线，一个点只要不在线上，或者越过线，就还在圆锥表面上。故而，圆的弦在笛卡尔坐标系上的拓扑和圆锥表面是不能等效的，用UP的专业术语讲，它们不是”同胚的“。
♥ 6 ↩ 13
[大哭]唤醒了本科时学拓扑的记忆 我讨厌没有度量的集合[生气]
♥ 6