必刷题《衔接新高一》第42讲：函数的单调性(二)

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AI总结视频 2025-08-02

AI课代表总结：本讲聚焦函数单调性的综合应用，系统梳理常见函数的单调性规律，深入探讨复杂函数（含分式、绝对值、复合函数）单调区间的求解方法。首先回顾基本初等函数的单调性特征： - **一次函数** $ y = kx + b $：单调性由斜率 $ k $ 决定；$ k > 0 $ 时为增函数，$ k < 0 $ 时为减函数。 - **二次函数** $ y = ax^2 + bx + c $：单调性取决于开口方向与对称轴位置。当 $ a > 0 $ 时，对称轴左侧递减，右侧递增；$ a < 0 $ 时相反。对称轴为 $ x = -\frac{b}{2a} $。 - **反比例函数** $ y = \frac{k}{x} $：若 $ k > 0 $，在 $ (-\infty, 0) $ 和 $ (0, +\infty) $ 上均递减；若 $ k < 0 $，则在相同区间上均递增。需分别讨论 $ x < 0 $ 与 $ x > 0 $，不可合并描述。对于较复杂函数，引入关键方法——**分离常数法**。例如函数 $ y = \frac{x}{1 - x} $ 可通过代数变形化为： $$ y = -1 - \frac{1}{1 - x} $$ 此形式将原函数拆分为常数与含变量的分式，结构更清晰。其本质可视为反比例函数 $ y = -\frac{1}{x} $ 向右平移1单位、向下平移1单位所得。由此得图像中心对称点为 $ (1, -1) $，渐近线为 $ x = 1 $、$ y = -1 $。据此分析可知，在 $ (-\infty, 1) $ 和 $ (1, +\infty) $ 上均单调递增，故单调递增区间为 $ (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) $。接下来处理含绝对值的函数，需**分段讨论**：如 $ y = |x^2 - 2|x| + 5| $，按 $ x \geq 0 $ 与 $ x < 0 $ 分别表达。当 $ x \geq 0 $，函数为 $ y = x^2 - 2x + 5 $；当 $ x < 0