FlyingFatPenguin 2025-11-21 学会了高数，你就可以在和幼儿园小朋友关于「一万、一亿、一万亿亿亿亿...」的数字比大小游戏中胜利了。 你只要说，对于任意给定的数字 N，我总取 N+1 大于你，这样我就可以永葆胜利了。 正当你洋洋得意，对面小朋友说——反弹！——反反弹？——反反反弹——对于任意给定的 反^N弹，我总反^(N+1)弹。 对，极限就是这么朴实、无华且枯燥。 ♥ 702 ↩ 26
漫士沉思录 2025-11-22 捞一捞自己的视频，顺便澄清一个看视频很容易有的误解：一致连续并不等价于导数有界。导数有界是可以推出一致连续的，但反过来问题很多： 首先，一个连续的函数可能根本在一些地方不存在导数；其次，类似根号x这种函数在零附近的导数是可以任意大的，但它是一致连续的，因为虽然斜率无限陡峭，但数值范围有限。至于是不是导数有界加上函数值有界就能推出一致连续，大家可以自己想一想[脱单doge] 顺便后续这些大学教程的无痛系列，大家想听什么东西的讲解，欢迎发在评论区哦~ ♥ 123 ↩ 11
现代微积分 2025-11-21 非常好的背景，我按照这个复刻一个收敛vs一致收敛的背景，感兴趣者可以考虑帮忙完善[doge_金箍] 收敛情境：假设小漫参加夸父追日活动，位移时间函数为s(t) A：当t→∞时，s(t)收敛于S B：是吗？我随便取一个值ε，你能保证t充分大时s(t)与S足够接近吗？ A：当然可以，你说吧。 B：ε=1,ε=0.1,ε=0.001,ε=10^-10,... A：T＞100，T＞1000，T＞10^10，T＞10^1000，... B：好吧你过关 因此lim(t→∞)s(t)=L定义为：对任意ε＞0，总存在T＞0，使得当t＞T时，有|s(t)-S|＜ε 一致收敛情境：假设小漫1号,小漫2号,...,小漫m号一同参加夸父追日活动，位移时间函数为s1(t)，s2(t)，...，sm(t) A：当t→∞时，sk(t) (k=1,2,...m)一致收敛于S(k) B：是吗？我随便取一个值ε，你能保证t充分大时所有的sk(t)都与相应的极限值S(k)足够接近吗？ A：当然可以，你说吧。 B：ε=1,ε=0.1,ε=0.001,ε=10^-10,... A：T＞100(此时|s1(t)-S1|=0.99,|s2(t)-S2|=0.98,...,|sm(t)-Sm|=0.6)， T＞1000(此时|s1(t)-S1|=0.099,|s2(t)-S2|=0.098,...,|sm(t)-Sm|=0.06)， T＞10^10(此时|s1(t)-S1|=0.00099,|s2(t)-S2|=0.00098,...,|sm(t)-Sm|=0.0006)， T＞10^1000(此时|s1(t)-S1|=0.99*10^-100,|s2(t)-S2|=0.98*10^-100,...,|sm(t)-Sm|=0.6*10^-100)，... B：好吧你过关 A：你发现了吗？这些小漫k号当中小漫m号是跑得最慢的，因此其实只要保证他能充分接近于Sm就行啦！ 因此lim(t→∞)sk(t)一致收敛于S(k)定义为： 对任意ε＞0，总存在T＞0，使得当t＞T时，对任意的k(k=1,2,...,m)，都有|sk(t)-Sk|＜ε 同时这等价于『让收敛最慢者收敛』，也即当t→∞时，关于t的误差函数(|sk(t)-Sk|关于k取上确界)→0 ♥ 68 ↩ 3
诗饮雨之雨 2025-11-21 记得当时微积分老师教我们极限这个定义的核心是，“要多接近就有多接近”，当时一下子就理解了。这样定义的精妙之处在于构造了一个差值自动检验器，永远不会停止，且把极限定义成了动态过程 ♥ 68 ↩ 1
夜航星ship 2025-11-21 本质上就是用一套精确的数学语言描述了“要多近就有多近”到底是一个什么东西，就是把我们感性上的极限的意义换成了理性的语言描述，就是为了准确表达“无限接近”的真正含义。 ♥ 76 ↩ 3
捧星拾月 2025-11-21 我猜大家哪怕看完了这个视频，也只会感慨极限这个定义精妙是精妙，但是还是觉得并不会觉得有多么“必要”。其实还真挺必要的，在我看来这是因为判定两个实数是否相等其实并不是大家想的那么简单，往深了说，实数有相当多精妙的性质，越学越觉有趣。 数学分析里常见的一个技巧，就是通过|A-B|＜任意给定的正数epsilon来得到A和B相等（甚至于这个技巧的证明还需要依赖反证法）。如果你能顺滑地接受这么一件事：“正整数集N和实数集R是无穷集，但是其中每一个元素却都是有限数”。那么如果注入自己对“极限”的直观理解：即无限趋近。想使用完全无歧义的逻辑语言来“对抗”当初搅动第二次数学危机的“无穷小量”这个怪胎，重铸微积分的严谨逻辑大厦，这个极限的定义几乎是可以被“推导”出来的。这正是其定义的“必要性”的体现。 顺带一提，高数里其实也有无穷小量，对求极限做题还挺方便的。不过其内涵早就被“夺舍”了。 ♥ 72 ↩ 3
许愿轩丶 2025-11-21 刚考完matlab，没人告诉我这门课还会考矩阵运算和特征值以及将英语翻译成中文啊[原神·枫丹_好困难...][原神·枫丹_好困难...][原神·枫丹_好困难...] ♥ 54 ↩ 7
摇扇闲 2025-11-22 很好的解读！“ε-δ”定义之所以晦涩，是因为它描述的是一个博弈过程，而不是一个计算公式。请把自己想象成一个精度控制员。我们以函数极限 lim{x->a} f(x) = L 为例，我们希望函数值 f(x) 无限逼近 于一个数 L。你提出一个挑战：“你敢保证 f(x) 和 L 的距离小于一个非常小的正数 ε 吗？” 这个 ε 可以任意小，比如 0.0000001... 你总想找出我的破绽。 我/函数 面对你的任何挑战（任意 ε > 0），我必须证明我能做到。我的策略是：找到一个出击范围（一个以 a 为中心的去心邻域 0 < |x - a| < δ）。只要你的输入 x 落入我这个范围，我就能保证对应的所有 f(x) 都满足 |f(x) - L| < ε。 “任意 ε > 0”代表了“无限逼近”的终极目标。它意味着你要多接近就有多接近，没有尽头。这是对极限 L 的精度要求。 “存在 δ > 0” 是实现上述精度的可行性方案。它表明，要想让函数值足够精确，你不需要让自变量 x 精确地等于 a，而只需要让它足够接近 a 即可。这描述了函数在 a 点附近的局部性质。ε 是先给定的，δ 是后找到的。 δ 通常依赖于 ε。你的挑战越苛刻（ε 越小），我找到的出击范围 δ 可能就要越狭窄。这完美地刻画了“为了达到输出上的高精度，我们需要在输入上控制到何种程度”。个相应的精度（δ），使得只要输入满足该精度，输出就一定能达到预设的精度。这就像一场“精度打包票”的游戏：你先定输出公差，我再来找输入公差。只要这个游戏我能一直玩下去（对任意 ε 我都能找到 δ），那么极限 L 就成立。这套体系的绝妙之处在于，我们从未定义“无穷大”是什么。我们只是在处理一系列有限的 N。N 可以非常大，但它永远是一个有限的数。 我们从未定义“无限接近”是什么。我们只是在处理一系列有限的、任意小的正数 ε。ε 可以非常小，但它永远是一个大于零的数。整个定义的核心，是描述了一个项的位置（n） 与项的数值（a_n） 之间的一种永恒的、可验证的约束关系。“无穷”在这里被“架空”了。 它不再是舞台上的一个演员，而是变成了舞台的边界。我们不再关心“无穷”本身是什么，我们只关心在通向它的这条路上，数列的行为是否可以被我们用有限的手段控制和预测。 ♥ 49 ↩ 3
透彻澜 2025-11-21 高数觉得难的基本告别理科了，我大一那会高数都不上课的最后半月自己看书自己推导公式，题都不刷去考试还能高分考过，高数真的是数学里面最简单的，难的是近代数学，后面的复变函数那才恶心，当数字有了方向难度就上来了 ♥ 70 ↩ 37
Kfeimeo 2025-11-21 实际上20世纪末期，数学家鲁滨逊等人又引入非标准分析，尝试让无穷小回归，同时让它有严格的集合论构造作为严谨性支撑。理论把无穷小当做超实数，所以它既不是0也不是正实数。其实无穷小是更符合初学者直觉的。 非标准分析里面求导就是st((f(x+d)-f(x))/d) d就是无穷小 st就是标准化函数，会去掉所有超实数部分只保留实数。这样比一大堆极限分析更直观 ♥ 48 ↩ 4
Comments
你很大概率见过的图
♥ 1535 ↩ 22
学不会高数的可以来数学专业，我们没有高数[笑哭]
♥ 1100 ↩ 28
没事，学不明白高等数学，可以来我这专业，怕你高等数学不明白，拆成了数学分析和高等代数去给你讲。讲的更细致，也更清楚
♥ 994 ↩ 35
学会了高数，你就可以在和幼儿园小朋友关于「一万、一亿、一万亿亿亿亿...」的数字比大小游戏中胜利了。 你只要说，对于任意给定的数字 N，我总取 N+1 大于你，这样我就可以永葆胜利了。 正当你洋洋得意，对面小朋友说——反弹！——反反弹？——反反反弹——对于任意给定的 反^N弹，我总反^(N+1)弹。 对，极限就是这么朴实、无华且枯燥。
♥ 702 ↩ 26
事实上，除了数学系，你完全不用关注定义，你会算就行，不会考察定义的。
♥ 298 ↩ 33
哪有那么难的，来学学数学分析就可以会高数了[doge]
♥ 252 ↩ 7
不敢笑，高一期中考试集合压轴考的就是这个[笑哭][笑哭]
♥ 225 ↩ 18
长河劫来的举个爪[doge]
♥ 159 ↩ 8
捞一捞自己的视频，顺便澄清一个看视频很容易有的误解：一致连续并不等价于导数有界。导数有界是可以推出一致连续的，但反过来问题很多： 首先，一个连续的函数可能根本在一些地方不存在导数；其次，类似根号x这种函数在零附近的导数是可以任意大的，但它是一致连续的，因为虽然斜率无限陡峭，但数值范围有限。至于是不是导数有界加上函数值有界就能推出一致连续，大家可以自己想一想[脱单doge] 顺便后续这些大学教程的无痛系列，大家想听什么东西的讲解，欢迎发在评论区哦~
♥ 123 ↩ 11
为什么在数学的定义里有一句话叫做“有且仅有”，他和“仅有”有什么区别？(´-﹏-`；)
♥ 96 ↩ 44
突然感觉简单的不符合up的视频了
♥ 83 ↩ 6
非常好的背景，我按照这个复刻一个收敛vs一致收敛的背景，感兴趣者可以考虑帮忙完善[doge_金箍] 收敛情境：假设小漫参加夸父追日活动，位移时间函数为s(t) A：当t→∞时，s(t)收敛于S B：是吗？我随便取一个值ε，你能保证t充分大时s(t)与S足够接近吗？ A：当然可以，你说吧。 B：ε=1,ε=0.1,ε=0.001,ε=10^-10,... A：T＞100，T＞1000，T＞10^10，T＞10^1000，... B：好吧你过关 因此lim(t→∞)s(t)=L定义为：对任意ε＞0，总存在T＞0，使得当t＞T时，有|s(t)-S|＜ε 一致收敛情境：假设小漫1号,小漫2号,...,小漫m号一同参加夸父追日活动，位移时间函数为s1(t)，s2(t)，...，sm(t) A：当t→∞时，sk(t) (k=1,2,...m)一致收敛于S(k) B：是吗？我随便取一个值ε，你能保证t充分大时所有的sk(t)都与相应的极限值S(k)足够接近吗？ A：当然可以，你说吧。 B：ε=1,ε=0.1,ε=0.001,ε=10^-10,... A：T＞100(此时|s1(t)-S1|=0.99,|s2(t)-S2|=0.98,...,|sm(t)-Sm|=0.6)， T＞1000(此时|s1(t)-S1|=0.099,|s2(t)-S2|=0.098,...,|sm(t)-Sm|=0.06)， T＞10^10(此时|s1(t)-S1|=0.00099,|s2(t)-S2|=0.00098,...,|sm(t)-Sm|=0.0006)， T＞10^1000(此时|s1(t)-S1|=0.99*10^-100,|s2(t)-S2|=0.98*10^-100,...,|sm(t)-Sm|=0.6*10^-100)，... B：好吧你过关 A：你发现了吗？这些小漫k号当中小漫m号是跑得最慢的，因此其实只要保证他能充分接近于Sm就行啦！ 因此lim(t→∞)sk(t)一致收敛于S(k)定义为： 对任意ε＞0，总存在T＞0，使得当t＞T时，对任意的k(k=1,2,...,m)，都有|sk(t)-Sk|＜ε 同时这等价于『让收敛最慢者收敛』，也即当t→∞时，关于t的误差函数(|sk(t)-Sk|关于k取上确界)→0
♥ 68 ↩ 3
记得当时微积分老师教我们极限这个定义的核心是，“要多接近就有多接近”，当时一下子就理解了。这样定义的精妙之处在于构造了一个差值自动检验器，永远不会停止，且把极限定义成了动态过程
♥ 68 ↩ 1
本质上就是用一套精确的数学语言描述了“要多近就有多近”到底是一个什么东西，就是把我们感性上的极限的意义换成了理性的语言描述，就是为了准确表达“无限接近”的真正含义。
♥ 76 ↩ 3
我来说一句：任何不讲数学/物理史而直接给你讲数学/物理概念的基本都是耍流氓，本质上没指望你听懂[doge]
♥ 74 ↩ 6
我猜大家哪怕看完了这个视频，也只会感慨极限这个定义精妙是精妙，但是还是觉得并不会觉得有多么“必要”。其实还真挺必要的，在我看来这是因为判定两个实数是否相等其实并不是大家想的那么简单，往深了说，实数有相当多精妙的性质，越学越觉有趣。 数学分析里常见的一个技巧，就是通过|A-B|＜任意给定的正数epsilon来得到A和B相等（甚至于这个技巧的证明还需要依赖反证法）。如果你能顺滑地接受这么一件事：“正整数集N和实数集R是无穷集，但是其中每一个元素却都是有限数”。那么如果注入自己对“极限”的直观理解：即无限趋近。想使用完全无歧义的逻辑语言来“对抗”当初搅动第二次数学危机的“无穷小量”这个怪胎，重铸微积分的严谨逻辑大厦，这个极限的定义几乎是可以被“推导”出来的。这正是其定义的“必要性”的体现。 顺带一提，高数里其实也有无穷小量，对求极限做题还挺方便的。不过其内涵早就被“夺舍”了。
♥ 72 ↩ 3
刚考完matlab，没人告诉我这门课还会考矩阵运算和特征值以及将英语翻译成中文啊[原神·枫丹_好困难...][原神·枫丹_好困难...][原神·枫丹_好困难...]
♥ 54 ↩ 7
很好的解读！“ε-δ”定义之所以晦涩，是因为它描述的是一个博弈过程，而不是一个计算公式。请把自己想象成一个精度控制员。我们以函数极限 lim{x->a} f(x) = L 为例，我们希望函数值 f(x) 无限逼近 于一个数 L。你提出一个挑战：“你敢保证 f(x) 和 L 的距离小于一个非常小的正数 ε 吗？” 这个 ε 可以任意小，比如 0.0000001... 你总想找出我的破绽。 我/函数 面对你的任何挑战（任意 ε > 0），我必须证明我能做到。我的策略是：找到一个出击范围（一个以 a 为中心的去心邻域 0 < |x - a| < δ）。只要你的输入 x 落入我这个范围，我就能保证对应的所有 f(x) 都满足 |f(x) - L| < ε。 “任意 ε > 0”代表了“无限逼近”的终极目标。它意味着你要多接近就有多接近，没有尽头。这是对极限 L 的精度要求。 “存在 δ > 0” 是实现上述精度的可行性方案。它表明，要想让函数值足够精确，你不需要让自变量 x 精确地等于 a，而只需要让它足够接近 a 即可。这描述了函数在 a 点附近的局部性质。ε 是先给定的，δ 是后找到的。 δ 通常依赖于 ε。你的挑战越苛刻（ε 越小），我找到的出击范围 δ 可能就要越狭窄。这完美地刻画了“为了达到输出上的高精度，我们需要在输入上控制到何种程度”。个相应的精度（δ），使得只要输入满足该精度，输出就一定能达到预设的精度。这就像一场“精度打包票”的游戏：你先定输出公差，我再来找输入公差。只要这个游戏我能一直玩下去（对任意 ε 我都能找到 δ），那么极限 L 就成立。这套体系的绝妙之处在于，我们从未定义“无穷大”是什么。我们只是在处理一系列有限的 N。N 可以非常大，但它永远是一个有限的数。 我们从未定义“无限接近”是什么。我们只是在处理一系列有限的、任意小的正数 ε。ε 可以非常小，但它永远是一个大于零的数。整个定义的核心，是描述了一个项的位置（n） 与项的数值（a_n） 之间的一种永恒的、可验证的约束关系。“无穷”在这里被“架空”了。 它不再是舞台上的一个演员，而是变成了舞台的边界。我们不再关心“无穷”本身是什么，我们只关心在通向它的这条路上，数列的行为是否可以被我们用有限的手段控制和预测。
♥ 49 ↩ 3
高数觉得难的基本告别理科了，我大一那会高数都不上课的最后半月自己看书自己推导公式，题都不刷去考试还能高分考过，高数真的是数学里面最简单的，难的是近代数学，后面的复变函数那才恶心，当数字有了方向难度就上来了
♥ 70 ↩ 37
实际上20世纪末期，数学家鲁滨逊等人又引入非标准分析，尝试让无穷小回归，同时让它有严格的集合论构造作为严谨性支撑。理论把无穷小当做超实数，所以它既不是0也不是正实数。其实无穷小是更符合初学者直觉的。 非标准分析里面求导就是st((f(x+d)-f(x))/d) d就是无穷小 st就是标准化函数，会去掉所有超实数部分只保留实数。这样比一大堆极限分析更直观
♥ 48 ↩ 4