【无痛高数】揭秘极限！为什么两次数学危机都和无穷有关？

在0.9九循环和1的大小比较中，我当时是这样去理解的，如果0.9九循环＜1，那么就能在0.9九循环和1之间再插入一个比0.9循环大，又比1小的数。然而用数位比大小的方法，会发现，找不到符合这样条件的数，所以0.9九循环和1一样大。

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其实这里面有一个概念，0.9循环它本身就已经代表极限了，它是最终的结果而不是逐渐逼近的过程，因此说“0.9循环无限趋近于1”是不对的，这是很多人搞错并且一直在纠结的点

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纯小白，看完之后但想不出π的无理数是怎么证明出来的

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即便是数学史上的伟人也会犯下现在看来的错误，我不认为那是错误的，我认为认知不是一成不变的，随着对事物的了解不断加深的，而不是站在山顶嘲笑上山的人肤浅。

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我们在数学分析里学到了pi和e的极限定义。 但我一直好奇它们能否给出分式定义。 就像是黄金分割比和根号二一样，有一种用有理数的无限分式的写法来表达的公式。

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数学专业毕业多年，直到现在也讨厌0.9循环等于1的说法，因为本质上这是个语言问题

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各位，问一个与这个无关的问题。又静止加速到1m/s，和在匀速的飞机上加速到1m/s，能量变化是不同的，那他们的摩擦力做功应该也不相同，但为什么我没有感觉更费力（只是个高中生的疑惑而已，勿喷）

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翻了半个钟评论区，个人感觉其实这个0.9循环和1的关系跟数字关系比起来更像是概念关系，跳出藩篱就好理解了

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0.9循环与1，其实有点哲学的意味。 之所以觉得1大于0.9循环，是本能感觉0.9循环后面，会有一个0.001，无穷0。 这就涉及到一个驳论，若0.001，1存在，则0.9循环，9不是无尽。 这违背无穷的定义。 所以1不可存在。 0.0000000000，只会无限重复下去，没有尽头，没有那个最后的1。 或者说，在我们目前理解的范围内，那个1，不在这里。

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想问问up,无穷递降区间套是不是和数学分析无限小的语言有关系啊。

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实数的定义真的很有意思，第一次学到戴德金分割，感觉真是奇妙，构造的过程奇怪但是又很合理，后来又看到直接把实数的性质列出来，满足这样的集合就是实数，发现分析也可以像代数一样，随着学的越多，发现其实是整个现代数学都是这样的“抽象”，后来了解到一点拓扑的知识，知道了实数实际上就是有理数的完备化，也就知道了为什么微积分要在实数上搞，而不是有理数，还有实数的另一个定义，就是有理数的Cauchy列，这和小数不谋而合，让人大呼原来如此，当然，我也知道域论里也有这一块的内容，不过还没学到。今天又在up这里看到了实数的另一个定义，没想到直接用闭区间套就可以定义实数，学了那么久，都没想到过，让人直呼大妙。总之来说，数学真是太有意思了，而且随着学的越多，呈现在眼前的东西也会变样，当以一个高观点来看之前学的东西，一切都清晰统一起来，这种感觉，这是太有意思了。总之来说，总之来说，数学真的太有意思了，快去学数学！

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关于π的无理性最简单的证明，这是步骤最简单的，但理解难度未必比连分数那个低 (随便一提，π的超越性也有一个非常简单的证明，但那个证明某种意义上来说是非常无聊，有人评价说那个证明是把一个钻石从左口袋拿到右口袋，你知道这里有个钻石，却拿不到)

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根号2是无理数这个论证小时候根本没看过，但是玩折纸的时候思考过，我想应该不止我一个人吧。

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在下才疏学浅，浅浅发表一下自己的见解 设0.9循环＝x 则10x＝9.9999… 10x-x＝9=9x 解得x=1 所以0.9的循环=1 或许不够严谨

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第一遍听的时候很震撼，但是第二遍听就听不懂了，尤其是15:08秒的"在实数轴上哪一个数字可以永远地保持在这个区间内呢？没错就是1"这句话是什么意思啊？0.8无限循环这个区间套子，也等于1吗还是0.9？为什么1就永远在区间套子里啊？我真的没听懂。希望好心人帮我解释解释！谢谢。

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我是在小学奥数学到0.9循环=1的，希望能从数学计算方面理解这个问题 设0.9循环=x 那么10x=9.9循环 10x-x=9x=9 x=1

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请问，所有正整数之和等于负十二分之一也是可以用这种思路去理解的吗？一个无尽的过程

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我很小的时候，脑子里还没有数轴的概念， 有一次我在玩绳子就想，表面上看绳子能被无限弯折二等分，但是弯折的时候中间会有特别小的一段转折，假如那一段能被二等分，那自然没问题，但是如果不能被二等分(我也不记得当时的逻辑是啥，反正就觉得肯定有这种情况)，那么只要你把绳子割成两段就不完美了，主要是因为我小时候有强迫症，既讨厌又害怕不能被二等分的东西。

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一个中学生表达一下理解。 解决这种问题应该从定义开始。 0.9循环当你把它当数讨论时，它就已经暗示极限了。 如果不理解可以试图用数学的方式定义一下循环小数。 而且，如果不承认0.9循环是数，那0.3循环呢？[微笑] 顺便说一下，用戴德金分割也可以得到与视频中同样的结论[星星眼]

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