见秋名 2023-09-23 大佬[星星眼]那是不是每一条有限长的线段上的点和一条无限长的直线上的点都是一样多的呀，因为每一段有限长的线段都可以转化为有限长的一段圆弧[脱单doge] ♥ 406 ↩ 34
TetraCepra 2024-03-15 每个up主在解释连续统假设的时候几乎都会把它描绘得非常玄乎。直到我看到某个视频评论区所说的： “连续统假设不能被证明为真也不能被证明为假，什么意思？独立于ZFC公理体系之外。这不是什么世纪难题，而是告诉我们，不管是真是假，把它捏成一个新公理放进ZFC体系里都是自洽的。” 这不就完了吗？和非欧几何一样，研究两种体系是不冲突的事情 ♥ 322 ↩ 13
ProKSMT 2023-09-24 up你好，在离散数学课上我的老师也讲了长度为1的线段映射到1x1正方形的问题。方法和up说的一样，他说完之后告诉我们这个方法是错误的。他是这么说的：例如线段上的0.409090909.....和0.50000000....应该对应正方形的（0，0.499循环）和（0，0.5），但0.49循环和0.5是一个数。所以一个数对应到了两个点。当然同理很容易也能构造出一个点对应两个数。不知道我的老师说的有没有道理？ ♥ 371 ↩ 36
hqxz556 2023-10-15 “连续统假设”独立于现在的公理系统，意思是说 a) 把 “它” 作为一个新公理加进来，和 b) 把 “它的否” 作为一个新公理加进来 可以得到两个不同的公理系统。 可以类比欧式第五公设：“过已知直线外一点有且只有一条直线与该直线平行”。 1）若此公设为真，即是欧几里得几何系统。若该公设不真，则有两种情况， 2）若 ”存在一条以上平行线“ 为真，即是罗巴切夫斯基几何系统。此时可以证明，一定有无数条过定点的平行线（即不可能是有且仅有两条之类的情况）。 3）若”不存在平行线“为真，即是黎曼几何。因此黎曼几何中任意两条直线都相交。 现在发现在不同的应用中，选择适当的几何系统可能会使解决问题更容易。因此这些几何系统都是”有用的“。 回过头来，“连续统假设” 由于过于抽象，目前还未发现具体的应用依赖这个”公理“。换句话说，我们尚不知道，我们的宇宙到底是 a) 还是 b) 的样子。这和哥德尔命题的情况不太一样。 ♥ 282 ↩ 27
silverxz 2023-09-23 我没有理解up说的“连续统假设和罗素悖论同源”是什么意思？罗素悖论在朴素集合论中推导出了矛盾，而连续统假设则实际上没有导致任何矛盾。 连续统独立于ZFC，是说连续统不论真假都不与ZFC矛盾。这里的关键点应该在于，ZFC只是一个抽象的公理系统，而满足这个公理系统的模型有很多个，不是唯一的。某些模型里，连续统为真；另一些模型里，连续统为假。类似地位的还有选择公理。 就好像苹果是个抽象的概念，而满足这一概念的具体对象可以是红苹果，也可以是绿苹果。所以我们不可能证明抽象的苹果是红的或不是。 ♥ 300 ↩ 32
Kfeimeo 2024-09-04 非要把不可判断性神秘化干什么。。。不能证明也不能证否，只是告诉我们连续统假设独立于ZFC，只是“无法从ZFC回答这个问题”，而不是“人类永远无法回答这个问题”，很讨厌故弄玄虚的科普，科普应该是越科普越清晰而不是越科普越神秘。 什么叫不可判定？一个公理系（如ZFC）只要自洽，那就有多个模型（你可以理解为实例，理论所描述的事物，实数也可以看做是一个ZFC的模型)。 如果一个命题（比如1+1＝2）在它的所有模型中为真或假，那么它一定能从公理系证明得到真或假。 反之，如果一个命题（如连续统假设,CH）在有的模型中假，有的模型中真，那只能说明它无法从公理系证明，即不可判定。 其实，不可判定本身就是问题的答案，它说明我们的公理系ZFC表达力不够强，不足以描述足够精确的数学结构。历史上认为是“未解之谜”，只是因为他们不接受这种答案而已；现在的数理逻辑界，独立性本身就是一种答案，独立性意味着ZFC+CH或ZFC+`CH都是自洽的，所以选取哪种公理系指取决于你要研究的问题罢了。你认为CH是对的，你把它加进你的公理系里面就好。主流数学家相信CH，是因为ZFC+CH可以推导出更富有结构的模型。 记住，公理不是真理，没有对错，哥德尔最大的贡献就是告诉我们这点。公理只是游戏规则，数学家选取一些公理系，只是为了便于证明一些有用的性质；古典几何五大公理，告诉你我们玩的是平面几何；去掉第五条公理，我们就去到了曲面几何，所以公理本身是没有对错的。就好像象棋有种种规定，不是有对错，而是是为了可玩性；你可以规定什么天马行空的规定都可以，只是不一定有人喜欢玩罢了。 ♥ 383 ↩ 52
迷因水母 2023-09-23 好棒！好期待up讲讲googology、ordinal number、non-standard analysis、wheel theory、p-adic number这些话题！中国的3b1b就此诞生，我话放这儿了[脱单doge] ♥ 137 ↩ 5
抱着小恩的金皮卡 2023-09-23 ZF集合论有八条公理，再加上经常被当做可有可无的选择公理，构成了当今最流行的数学系统。首先是最基础的外延公理，这是一个直觉显然命题，它说两个集合相等当且仅当，某元素属于一个集合当且仅当其属于另一个集合。然后是引起了数学危机的概括/分离公理模式，这个公理“模式”意思是每个集合都会用到同理的不同公理，意义是总能把符合一个条件的元素搜集起来构成集合，概括公理的搜集是无限制的，而现在的分离公理要求搜集必须来自集合。替代公理模式，同样的它对于不同集合来说具体形式不同，它说集合上的映射的像是集合，也就是说集合上的函数的值域是个集合。配对公理在ZF中不再必要，其被替代公理蕴含，它说任意两个集合必然属于同一个集合。并集公理说对于任意集合，其所有元素的元素构成集合，也就是声称并集的确是集合。幂集公理声称集合的所有子集构成集合，也就是幂集。 然后是要重点说的，在集合论中发挥皮亚诺公理作用的无穷公理。无穷公理宣布存在一个集合S，∅属于S，并且x∈S implies x∪{x}∈S。也就是说，无穷公理定义了一个后继结构，这个无穷的序列的确属于某个集合，这证明了无穷大的集合的存在，分离公理随后把集合S精简化，仅留下∅和它的后继们，冯诺依曼定义下，这就是序数，也就是自然数，所以无穷公理等于说自然数是集合。其中空集∅就是0，后继是1，注意到这个定义有个优秀性质：自然数是自身之前自然数的集合，其基数就是自身。 又注意，自然数是集合，因此自然数集合正是自然数的序数！当做序数时记作ω₀或ω，这是最小的超限序数，第一个极限序数，也就是不可以被其他序数通过+1求后继元素的办法得到。但是替代公理通过映射宣布ω+1存在，作为序数来说比ω大，但是基数是一样的，集合大小严格只能通过基数也就是势对比。 注意到ω是自然数集合，正整数有自然数那么多是平凡的，其序数也是ω，两者完全可以放到同一个架子上，也就是序同构，但是非负整数加负整数{0,1,2...-1,-2...}的序数是ω2，注意序数没有交换律，这个集合仍然和ω等势，于是基数，也就是单纯的数量，是序数的等价类，因为有无穷个序数是等势的。假设选择公理时，冯诺依曼指派说集合的最小序数就是基数，也就是ω就是阿列夫0。 ♥ 199 ↩ 21
电信诈骗村的神奇秘密 2023-09-24 以前在一个网站上看到过这样一个科幻小说的梗概：人类无意中发现了一套外星文明的数学系统，但是这套系统的底层逻辑和人类的数学逻辑完全不同，数学家们必须抛弃加减乘除各大公理去理解这套数学体系。但是在研究的过程中人们发现，我们数学体系中一些极为繁琐复杂的概念和数值可以在那套数学体系下简洁优美地体现，而反过来也是。后面忘了，小说叫什么我也不知道[doge] ♥ 115 ↩ 6
下棋之人B 2023-09-23 nnnnnnnnbbbbbbbbb，这是我看过的数学最美的证明[喜欢][喜欢][喜欢] 数学是最严谨的学科，他比世界本身更为美丽和完美[星星眼][星星眼][星星眼] ♥ 158 ↩ 31
BO_LUboo 2023-09-23 本人初三，刚开始“通过对应法来判断两条线段上的点的多少”我没太搞懂，觉得这明显和常理不符，如果一一对应，两条不一样长的线段（总数不同），组成线段的点一样（除数一样），那得出的结果肯定不一样（总数÷除数＝商）。等我想了10分钟后，我发现其实这样想是错误的，我改变了某些条：件线和点都想成三维的了（点是零维的，线是一维的，他们俩之间应该不能相除）。如果接受了这个设定，那我种推断是不对的也就说的通了（但还是一知半解，不知道具体的？原理？）而且我还有一个疑问，为什么在一一对应点的时候不用垂直于这两条线段的直线通过从左到右平移来对应点呢？ps：本人初中生，语言、用词不当，逻辑、条理不清楚，请原谅。 ♥ 68 ↩ 24
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每当发现宝藏时，我总欣喜若狂。殊不知，知识就像流动的河水般，过目即忘...
♥ 775 ↩ 10
事实证明，不让我做题的数学还是蛮有趣的[doge]
♥ 460 ↩ 4
大佬[星星眼]那是不是每一条有限长的线段上的点和一条无限长的直线上的点都是一样多的呀，因为每一段有限长的线段都可以转化为有限长的一段圆弧[脱单doge]
♥ 406 ↩ 34
每个up主在解释连续统假设的时候几乎都会把它描绘得非常玄乎。直到我看到某个视频评论区所说的： “连续统假设不能被证明为真也不能被证明为假，什么意思？独立于ZFC公理体系之外。这不是什么世纪难题，而是告诉我们，不管是真是假，把它捏成一个新公理放进ZFC体系里都是自洽的。” 这不就完了吗？和非欧几何一样，研究两种体系是不冲突的事情
♥ 322 ↩ 13
up你好，在离散数学课上我的老师也讲了长度为1的线段映射到1x1正方形的问题。方法和up说的一样，他说完之后告诉我们这个方法是错误的。他是这么说的：例如线段上的0.409090909.....和0.50000000....应该对应正方形的（0，0.499循环）和（0，0.5），但0.49循环和0.5是一个数。所以一个数对应到了两个点。当然同理很容易也能构造出一个点对应两个数。不知道我的老师说的有没有道理？
♥ 371 ↩ 36
“连续统假设”独立于现在的公理系统，意思是说 a) 把 “它” 作为一个新公理加进来，和 b) 把 “它的否” 作为一个新公理加进来 可以得到两个不同的公理系统。 可以类比欧式第五公设：“过已知直线外一点有且只有一条直线与该直线平行”。 1）若此公设为真，即是欧几里得几何系统。若该公设不真，则有两种情况， 2）若 ”存在一条以上平行线“ 为真，即是罗巴切夫斯基几何系统。此时可以证明，一定有无数条过定点的平行线（即不可能是有且仅有两条之类的情况）。 3）若”不存在平行线“为真，即是黎曼几何。因此黎曼几何中任意两条直线都相交。 现在发现在不同的应用中，选择适当的几何系统可能会使解决问题更容易。因此这些几何系统都是”有用的“。 回过头来，“连续统假设” 由于过于抽象，目前还未发现具体的应用依赖这个”公理“。换句话说，我们尚不知道，我们的宇宙到底是 a) 还是 b) 的样子。这和哥德尔命题的情况不太一样。
♥ 282 ↩ 27
我没有理解up说的“连续统假设和罗素悖论同源”是什么意思？罗素悖论在朴素集合论中推导出了矛盾，而连续统假设则实际上没有导致任何矛盾。 连续统独立于ZFC，是说连续统不论真假都不与ZFC矛盾。这里的关键点应该在于，ZFC只是一个抽象的公理系统，而满足这个公理系统的模型有很多个，不是唯一的。某些模型里，连续统为真；另一些模型里，连续统为假。类似地位的还有选择公理。 就好像苹果是个抽象的概念，而满足这一概念的具体对象可以是红苹果，也可以是绿苹果。所以我们不可能证明抽象的苹果是红的或不是。
♥ 300 ↩ 32
一如既往的高质量数学科普，中文版的3b1b[星星眼][星星眼][星星眼]
♥ 336 ↩ 3
非要把不可判断性神秘化干什么。。。不能证明也不能证否，只是告诉我们连续统假设独立于ZFC，只是“无法从ZFC回答这个问题”，而不是“人类永远无法回答这个问题”，很讨厌故弄玄虚的科普，科普应该是越科普越清晰而不是越科普越神秘。 什么叫不可判定？一个公理系（如ZFC）只要自洽，那就有多个模型（你可以理解为实例，理论所描述的事物，实数也可以看做是一个ZFC的模型)。 如果一个命题（比如1+1＝2）在它的所有模型中为真或假，那么它一定能从公理系证明得到真或假。 反之，如果一个命题（如连续统假设,CH）在有的模型中假，有的模型中真，那只能说明它无法从公理系证明，即不可判定。 其实，不可判定本身就是问题的答案，它说明我们的公理系ZFC表达力不够强，不足以描述足够精确的数学结构。历史上认为是“未解之谜”，只是因为他们不接受这种答案而已；现在的数理逻辑界，独立性本身就是一种答案，独立性意味着ZFC+CH或ZFC+`CH都是自洽的，所以选取哪种公理系指取决于你要研究的问题罢了。你认为CH是对的，你把它加进你的公理系里面就好。主流数学家相信CH，是因为ZFC+CH可以推导出更富有结构的模型。 记住，公理不是真理，没有对错，哥德尔最大的贡献就是告诉我们这点。公理只是游戏规则，数学家选取一些公理系，只是为了便于证明一些有用的性质；古典几何五大公理，告诉你我们玩的是平面几何；去掉第五条公理，我们就去到了曲面几何，所以公理本身是没有对错的。就好像象棋有种种规定，不是有对错，而是是为了可玩性；你可以规定什么天马行空的规定都可以，只是不一定有人喜欢玩罢了。
♥ 383 ↩ 52
好棒！好期待up讲讲googology、ordinal number、non-standard analysis、wheel theory、p-adic number这些话题！中国的3b1b就此诞生，我话放这儿了[脱单doge]
♥ 137 ↩ 5
17:30 那里是不是有点问题，符号有点乱 在第二行把r当作映射函数在用，第三行B里面把r当作实数元素在用。
♥ 129 ↩ 4
ZF集合论有八条公理，再加上经常被当做可有可无的选择公理，构成了当今最流行的数学系统。首先是最基础的外延公理，这是一个直觉显然命题，它说两个集合相等当且仅当，某元素属于一个集合当且仅当其属于另一个集合。然后是引起了数学危机的概括/分离公理模式，这个公理“模式”意思是每个集合都会用到同理的不同公理，意义是总能把符合一个条件的元素搜集起来构成集合，概括公理的搜集是无限制的，而现在的分离公理要求搜集必须来自集合。替代公理模式，同样的它对于不同集合来说具体形式不同，它说集合上的映射的像是集合，也就是说集合上的函数的值域是个集合。配对公理在ZF中不再必要，其被替代公理蕴含，它说任意两个集合必然属于同一个集合。并集公理说对于任意集合，其所有元素的元素构成集合，也就是声称并集的确是集合。幂集公理声称集合的所有子集构成集合，也就是幂集。 然后是要重点说的，在集合论中发挥皮亚诺公理作用的无穷公理。无穷公理宣布存在一个集合S，∅属于S，并且x∈S implies x∪{x}∈S。也就是说，无穷公理定义了一个后继结构，这个无穷的序列的确属于某个集合，这证明了无穷大的集合的存在，分离公理随后把集合S精简化，仅留下∅和它的后继们，冯诺依曼定义下，这就是序数，也就是自然数，所以无穷公理等于说自然数是集合。其中空集∅就是0，后继是1，注意到这个定义有个优秀性质：自然数是自身之前自然数的集合，其基数就是自身。 又注意，自然数是集合，因此自然数集合正是自然数的序数！当做序数时记作ω₀或ω，这是最小的超限序数，第一个极限序数，也就是不可以被其他序数通过+1求后继元素的办法得到。但是替代公理通过映射宣布ω+1存在，作为序数来说比ω大，但是基数是一样的，集合大小严格只能通过基数也就是势对比。 注意到ω是自然数集合，正整数有自然数那么多是平凡的，其序数也是ω，两者完全可以放到同一个架子上，也就是序同构，但是非负整数加负整数{0,1,2...-1,-2...}的序数是ω2，注意序数没有交换律，这个集合仍然和ω等势，于是基数，也就是单纯的数量，是序数的等价类，因为有无穷个序数是等势的。假设选择公理时，冯诺依曼指派说集合的最小序数就是基数，也就是ω就是阿列夫0。
♥ 199 ↩ 21
以前在一个网站上看到过这样一个科幻小说的梗概：人类无意中发现了一套外星文明的数学系统，但是这套系统的底层逻辑和人类的数学逻辑完全不同，数学家们必须抛弃加减乘除各大公理去理解这套数学体系。但是在研究的过程中人们发现，我们数学体系中一些极为繁琐复杂的概念和数值可以在那套数学体系下简洁优美地体现，而反过来也是。后面忘了，小说叫什么我也不知道[doge]
♥ 115 ↩ 6
nnnnnnnnbbbbbbbbb，这是我看过的数学最美的证明[喜欢][喜欢][喜欢] 数学是最严谨的学科，他比世界本身更为美丽和完美[星星眼][星星眼][星星眼]
♥ 158 ↩ 31
就喜欢看这些视频，感觉就像知识冲刷了大脑，又什么也没留下
♥ 78
“现有的数学框架体系不可证明连续统假设的真或假”，是否意味我们未来有可能找到更先进的数学工具来证明它的真假性？
♥ 73 ↩ 20
希望up能一直更下去 这对喜欢数学的人真的很重要[喜欢][喜欢][喜欢]
♥ 71 ↩ 2
漫士漫士，能讲一下“任何一个正整数都能用二十个以内的汉字精确表达”的相关问题么[星星眼]
♥ 64 ↩ 13
本人初三，刚开始“通过对应法来判断两条线段上的点的多少”我没太搞懂，觉得这明显和常理不符，如果一一对应，两条不一样长的线段（总数不同），组成线段的点一样（除数一样），那得出的结果肯定不一样（总数÷除数＝商）。等我想了10分钟后，我发现其实这样想是错误的，我改变了某些条：件线和点都想成三维的了（点是零维的，线是一维的，他们俩之间应该不能相除）。如果接受了这个设定，那我种推断是不对的也就说的通了（但还是一知半解，不知道具体的？原理？）而且我还有一个疑问，为什么在一一对应点的时候不用垂直于这两条线段的直线通过从左到右平移来对应点呢？ps：本人初中生，语言、用词不当，逻辑、条理不清楚，请原谅。
♥ 68 ↩ 24