【无痛高数】所有数都是无理数？有关无限所有困惑的答案（上）

想到一则笑话： 有人把工程师、物理学家和数学家关进三间相同的房子里，分别给了他们一桶油漆，叫他们把四面墙都刷成绿的——但是这些油漆实际上是不够的。 过了一段时间，人们去工程师的房间，发现两面墙是绿的，油漆已经用完了。 “我已经尽力了，我刷到一半的时候发现油漆不够。” 人们又去物理学家的房间看，发现墙壁还都是白的，油漆也还是满的。 “我发现油漆不够，所以就没有刷。” 最后人们去数学家的房间看，惊奇地发现不仅四面墙，连天花板和地板都被刷成绿色的了；而且更神奇的是，油漆竟然还是满的。 “你是怎么做到的！” “很简单，我刷了所有的有理点。”

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有理数是循环的 无理数是不循环的 随意点一个数 就相当于生成随机数字串 想要这个数字串后面的位数严格符合前面已有的规律，概率是极小的

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本期视频我们已经知道了“几乎所有实数都是无理数” 接下来我们来证明：“几乎所有无理数都是超越数”[滑稽] 连起来就是“几乎所有实数都是超越数” 但离谱的是，虽然超越数这么多，但我们却很难证明一个数是超越数。比如我们可以很直观的感受到π+e肯定是个超越数，如果不是超越数那我把键盘吃了都行！都你要问怎么证明它确实是个超越数，那大家就都懵圈了[滑稽]

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那阿列夫0的阿列夫0次方还等于阿列夫0吗

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太强了，这才是高级科普。对了up能解答一下有些数学家（如欧拉）认为自然数之和是-1/12呢

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用计算器试出来的，那个数字对应的句子

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突然想到一个问题，经典希尔伯特旅馆，无理数取每一位+1说明不存在名单，使房间和有数字名字的客人一一对应。说明位数无穷下去的数比有理数无穷势更高。 但同理有理数也可以在左侧加数位，如果加无穷个0还是自身，加了非零就是变成另一个有理数。但这么加都是有理数。无穷个还是低的势。 这件事在数学上怎么说明？ 为什么增加高位的数并不会导致数的势变化？

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概率为0的事情在连续的地方有可能发生[doge]

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大佬能出一期视频讲讲图里这些名词都是啥意思么[脱单doge]

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概率是0的事情并不是不可能事件。比如在平面里定义一个点，随机投中这个点的概率是0，因为点的面积是0，但确实这个点在这个平面中，所以它是有可能的。

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有一个疑问：为什么不能把一个个数列出来就不能使用无穷级数求和呢？在指数衰减这里使用的无穷级数所采用的无穷的性质不应该是数量的无限大吗，在这一方面可数与不可数不穷不应该是一样的吗？还请赐教

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原来老师也玩phigros[脱单doge]

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文字排列那里突然有点不明白……在规定一篇文章中文字个数的情况下这么做没问题，但这个世界上所有的文章字数是不固定甚至没有上限的，在无上限的情况下最多就是aleph0个字，但是每个字又存在k种不同的字选择，那么最后所有的情况就是k的aleph0次方……这已经明显超出2的aleph0次方了啊……

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来一个很有趣的题目：请构造一个从（0，1）到【0，1】的函数f，使得f满足∀k∈【0，1】，∃x∈（0，1）， f（x）＝k[doge]

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视频里没有提及的一个重要的点是，我们认为两个集合“一样多”（等势），只需要证明它们之间【存在】（黑体加粗）一个一一对应即可。 这是许多人看科普是非常容易困惑的一点，他们不管你怎么说，就是会觉得整数比自然数多。就算你给出一个整数和自然数的一一对应，他们也会反问说，“我这样也可以让它们不对应，这样整数不就比自然数多出来一块吗？”所以这个存在性是必须要强调的。虽然我们可以让整数比自然数多出来一块儿，但只要我们【存在】一种方法让它俩一一对应，我们就认为它们一样多。 为什么这样就叫“一样多”（或者用数学名词，等势）？这是定义出来的，定义就这么写的。那这么定义有什么好处？它能给出无穷集合之间非常优美的序关系。如果有一天up能做到著名的“SB定理”，我们就会发现用一一对应定义“一样多”是多么优美。 至于我们如何刻画直觉上的“整数比自然数多”，“【0,1】比所有实数多”——用测度。这就是另一个话题。

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之前的表达不准确，我重新写一下。 所以能不能这样理解，从现实角度出发，我找到一根木棍，经过测量，它的长度是10厘米。但这只是人类定义的10厘米，它的长度有无限接近1的可能是一个10附近的无理数，只是为了方便认识和实践，我们做出妥协，从可数无穷中选出一个较为接近的10来定义它的长度。要想无限追求其长度的精确性，最终更可能得到的就是一个无理数；但人类没有办法精确表达无理数，想要向他人说明这个无理数时，只能挑一个有理数去表示它。 就像我们表示一条直线上的一个点时，用的其实是一条线段。

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我没想到我成天胡思乱想的东西居然真的有人在研究，还研究的这么透彻。 那么我就提出个问题，想请教一下up和专业人士[笑哭] 一条数轴上的数是间断的还是连续的啊？ 比如我们以√3为基点，找出一个只比√3大一点点的数，也就是说这个数与√3之间不存在任何一个实数。我们记这个数为×。从这里我们可以得出推论，这个数×一定为无理数。因为有理数与无理数√3之间一定会有数比√3大，比这个有理数小。比如我取这个有理数为1.73，那么在1.73与√3之间一定有无穷多的数比√3大比1.73小。也就是说，x必须为无理数才可能让它与√3之间不存在任何实数。 好，这下我能得到了一个新的无理数×，这个数×与√3之间不存在任何实数。那么我们按同样的方法再找一个数y让他也只比x大一点点，当然他们之间也不存在任何实数。 就这样，我们可以继续往下找，找到无穷个数让他们只比上一个数大一点点，并且使得他们之间不存在任何实数。那么怎么样才能经过这些数到达第一个有理数呢？比如一条射线经过√3这个点继续延长，在以上的推论中他会一直沿着这些无理数延长，根本不会到达下一个有理数，甚至可能会在√3徘徊。 然而在不论是在现实生活，还是抽象的数学里，我们总能找到一些例子突破无理数到有理数。比如一根竹子它在生长过程中一定会经过无穷多个无理数，但他依旧跨过了无理数与有理数之间的无穷多个数。再到数学上，一条（0,1）数轴也跨过了无理数与有理数。 所以我在想关于数轴上的点是否是间断的啊？尤其是有理数附近的点。

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00:24 【几乎所有】在数学上有专门的定义 它指当数的数量趋近于正无穷时，具有特定特征的数与全体数字的比值趋近于1 （不知道你们能不能听懂）

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我问chatgpt 他帮我算的 正确吗？

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