五分钟学会旋转体侧面积

如果二战一定报你的课，但是明天复试。希望我没有这个机会跟你学习

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给大家解答一下：其实旋转体的表面积，可以看作是由若干个小圆台组成的，注意这里，我说的是小圆台，那就和若干个小圆柱有区别了。圆台的意思就是相当于梯形去绕，而圆柱就相当于矩形去绕。当这个小圆台足够小的时候，也就是绕的这个梯形足够小的话，即上底和下底距离足够近的话，那上底和下底其实就近似一样长，那就统一用2fx等于上底+下底之和。所以如果此时我还用dx的话，那它就是相当于完完全全的矩形绕的圆柱体表面积了，所以为了减小误差，就应该是用梯形的斜边，也就是弧长ds。不资道大家能不能明白？

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有些人不理解的点主要是为什么算体积用的是dx，那么就可以算体积的时候也一样看成圆台，利用圆台体积公式，就可以得出我们熟悉的公式，如下

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圆台的侧面积公式π(R+r)l 公式里用的就是母线长l，不是高h。圆台体积公式πh(R²+Rr+r²)/3这里面用的是高h。 用微元来近似求旋转体侧面积和旋转体体积时，(绕x转)当△x–>0时，r和R近似相等，(这里我们统一用r表示）上面的公式变成了: 圆台的侧面积公式π(r+r)l =2πrl 圆台体积公式πh(r²+r*r+r²)/3=πr²h l是ds h是dx

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省流量: 弧长公式+旋转体

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因为dx是因为一个平面误差小，ds是因为2π旋转可分为无限个切面，（无限）每个切面的用dx的话，表面积合起来误差太大了。所以要用ds。平方差

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绕着y轴侧面积呢

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既然是微分的形式了应该可以用dx就是不明白来看了下，结果这里也没说

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我想也想知道！ 为什么旋转体的体积，可以直接用dx，而表面积要用ds，不能用dx呢？

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如果对x用元素法，面对这种爆炸式增长的函数时计算就会有很大误差，而用弧长S的元素法就不会

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歪个楼，小崔老师，有没有人说过你长得好像白客[doge]

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解答:为什么求体积用dx，求曲面面积用ds 仅供大佬们参考，如果有不对的地方，可以提出来一起探讨，共同进步！！

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取`ds`不取`dx`就默认了dy!=0, 由圆台的侧面积公式$$\pi l(R+r) $$ 可得$$dA=\pi ds(f(x)+f(x)+dy) $$，其中$$ds=\sqrt{d^2x+d^2y} $$，在这里就默认了dy不等于0，那么积分公式确将(f(x)+f(x)+dy)中的dy给省略掉了，直接变成了2f(x)，相当于默认dy=0了；这就矛盾了，为什么算ds的时候不能将dy与0等价 而 (f(x)+f(x)+dy)却可以？

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ds 的来源

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看了下面的评论都没说到点上 用dx积出来相当于平面面积乘以2π 没有几何意义 只能用弧长公式积分

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讲一下自己的理解，因为面积是侧面曲面的面积，如果用dx那么相当于积分的时候外面是一个个断掉的圆环，变化是突兀的，并不连续，但是算体积的时候根据祖暅原理，体积是一样的

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这里的面积是三维的面积而不是二维的面积了，求体积的时候dx是高，没有坑坑洼洼的，求侧面积是圆台但看成圆柱也可以，高不是dx而沿着弯的ds积分也就是S（L）2πf（x）ds，L是a到b的一段弧，面积是在函数表面找高而体积x轴就是高

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请问表面积和侧面积有什么不同吗 为什么我看有的时候表面积还要加别的面积 有的地方表面积和侧面积又是一个公式

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老师这样讲，挺好的[脱单doge]我就喜欢老师出这种小细节的视频。比如我现在侧面积公式忘了，直接搜旋转体侧面积，就能找到老师这种讲小细节的视频。

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为什么要用ds不能用dx呢？虽然说结果是符合的，但是具体的数学解释是什么呢？为什么会这么规定？[尴尬][尴尬]

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