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合集 · 好好学习！天天向上！ (47)

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你说的对，但情况 (sd.3) 中 m × t 的项 t 被视为九头蛇 m × t 的最右头部。当海格力斯砍掉头部时，九头蛇从一个 
无限集合 multi t, 2 (F0) 中选择一项 s，然后 m × t 变为 m × s + (m − 1)。另一方面，m × t 是九头蛇 
a = D0 (c0 ⊕ b0 [· · · D1 (c1⊕ b1[· · · m × t])] ) 中的最右头部，这个九头蛇 a 从常数 0, 1, ω1 和有限个函数符 
号（在 {+, ·, λx.ωx , D0, D1, D2, F} ∪ {×} ∪ F0 中）构造出一个项 s。此外，九头蛇遵守限制 s <1 c1, s <0 c 
和 |s| ≤ 2 2 n。特别地，九头蛇必须从一个有限集合 multin 中选择一项 s，参见命题 4.5，然后九头蛇变为 
D0 (c0 ⊕ b0 [· · · D1 (c1 ⊕ b1[· · ·(m × s + (m − 1))])]) ∈ a[n]，参见 (sd.5.5)。这是九头蛇的应对可能依赖于其储备 
的唯一情况。定义 21.26 初始九头蛇 
I 表示从 Di(0)(i = 0, 1, 2), n × D2(0), n ⊗ ω(n > 0) 通过应用 + 生成的九头蛇集合。 
那么，对于 b ∈ I 和 k < ω，每个形如 
a = D0  D2 (k+2) (D2(0) + 1) ⊕ D2 (k)  D1  ∅ ⊕ D2 (k) (b)  
(21.126) 
的九头蛇被称为初始九头蛇，其中 D2 (k) (b) = D2 (· · · D2 (D2(b))· · ·) 表示有 k 个 D2。 
令 (H)ω1 表示以下陈述：对于任何初始九头蛇 a0，任何有限的函数符号集合 F0 ⊂ Fµ 和任何 n ∈ N，存在 
m ∈ N 使得 h F a0 0 
(n) ' m。这意味着初始九头蛇 a0 首先任意选择一个有限的函数符号集合 F0 和一个 n ∈ N。 
九头蛇根据定义 4.8，在第 m 轮中使用 F0 和数 n + m 来应对海格力斯对其最右头部的砍击，那么无论九头蛇 
在情况 (sd.5.5) 中选择哪一项 s，它最终都会在战斗中死亡。 
关于上述 Hydra，有如下定理说明其强度。 
定理 21.6 1. T1 +(N) 证明命题 (H)ω1，该命题说数论函数 h F a 对任何初始九头蛇 a 和任何有限函数符号集 
F ⊂ Fµ 是全域定义的。 
2. T1(N) 对每个初始九头蛇 a 证明命题 (H)ω1。 
3. T1(N) 不能证明完整的命题 (H)ω1。 
其中 T1 +(N) = T1(N) + T I (ερ0+1) 表示通过将沿类型为 ερ0+1 的 ∆ 良序 <ε 的超限归纳模式添加到 T1(N) 
中得到的理论，其中 ερ0+1 是带有无穷公理的 Kripke-Platek 集合论的传递良基模型 V 中 Ord 类的序型 ρ0 的 
序型。对于自然数 n，递归定义 ωn (ρ0 + 1) 为 ω0 (ρ0 + 1) = ρ0 + 1 和 ωn+1 (ρ0 + 1) = ω ωn
(ρ0+1)
。