n个平面最多可以将空间划分成多少份？

[笑哭]“不完全归纳法屡屡受挫”的一个经典例子就是本题的变种之n条直线能把圆划分成最多多少份

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将最后那个问题的答案记作Q(d,m)的话，我认为有Q(d+1,m)=Q(d,m)+Q(d,m-1)，且不难发现Q(d,m)=B(m,d)。

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很厉害，我最近的工作就涉及到需要考虑多个超平面划分空间的问题，看到up的数学解释很有帮助，这些基础数学对其他领域的研究很有启发。 我的问题是需要一个多自由度控制，xyz相当于控制自由量，整个控制区域相当于就是d维度的变量空间，而超平面就是控制模式切换的边界。 当维度只有3的时候：边界±x/2±y/2±z=0和 ±x/2±y/2±z=1将【0-1】边长的变量空间(xyz立方体)分成了8个区域,就像下面的图 但当维度为5的时候: 边界±x/2±y/2±z/2±m±n=0和 ±x/2±y/2±z/2±m±n=1将【0-1】边长的变量空间(xyzmn超立方体)划分成了多少区间我就不知道了，我只能固定m和n的值，在三维里面看有多少个区域,比如在m=0.1 n=0.2的情况下，我就用代码自动划分出了43个区域，我还在努力思考d=5的时候至多有多少可能

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花了一个晚上终于把思考题想明白了，反射格雷码！！！正正正逐渐到负负负，还是高阶的。最后再考虑个加个定值！这种题要是平时没有做，考场上怎么想得出来！

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看到这个题，突然间就回想起了我上高中的时候。那时候我就考虑过这个问题，最后我还作出了一张表格，但是因为我那时候才刚学立体几何，当时掌握的知识太少，没办法去证明。 考虑如下图表格：表格的第1行和第1列元素均为1，其余所有元素都等于它左侧元素和左上方元素之和，则表格的第i行j列的元素即为在(i-1)维空间中，(j-1)个超平面最多可以把空间划分为几部分。

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看来我以前的猜想是对的，能经过2ᵈ-1个[打call] 首先d维空间的直角坐标系有d个超平面，所以能经过B(d,d-1)个象限，B(d,d-1)=B(d,d)-C(d,d)=C(d,d-1)+C(d,d-2)+…+C(d,0)=2ᵈ-1

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先考虑一条直线。 问题就相当于这样子，在第一象限内找一个点A:(a1,a2,...ad)以及一个向量P:(p1,p2,...pd)，这里A跟P的所有相关数值都是正的，A-λP的值V便是这条线上的所有点，其中λ是由大到小进行取值的，从而让V逐渐向负向移动。然后我们只要控制A跟P的值，让V在λ逐渐变大的过程中，尽可能多地变号，便能让V经过尽可能多的象限了。 最好的情况就是V的值一个一个地依次由正变负，由于A-λP中λ是逐渐变大的，所以V中变负的值不会再变正，比如d=3，m=1，选A:(6,4,2)，P:(1,1,1)，其变化情况如下： λ=0，V（6，4，2）,符号（正，正，正） λ=3，V（3，1，-1）,符号（正，正，负） λ=5，V（1，-1，-3）,符号（正，负，负） λ=7，V（-1，-3，-5）,符号（负，负，负） 经过四个象限。同理，d维坐标系一根直线最多经过d+1个象限。

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前段时间学立体几何的时候自己探索出来了这个规律，没想到今天在B站上看到推导了[范式起源_沉思]

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感觉和3b1b那期分圆问题有相似的思路[doge]

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依稀想起之前看到的一个问题：圆周上n个点两两连线最多可以把圆划分为几个区域。这个也是不完全归纳法不适用的问题。记得答案包含组合数(不过得用上欧拉定理)。[吃瓜]

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您的视频不是催眠，而是让人失眠。[笑哭]

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忘了评论了，牛逼

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顺便一提，在无穷维一次型空间中，n个空间最多可以唯一确定一个3n-1维的空间，最少2维空间。具体情况由向量基通过容斥原理确定（别问我为什么我不知道

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考虑：点分线，线分面，面分体，可以猜出答案是高阶等差数列，也容易推广到高维情况[doge]

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[给心心]

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08:01是什么网站啊[星星眼]

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最后的问题，可以做如下考虑： 先求m=d-2。对于d-2维超平面，其必定属于一个d-1维超平面。d维坐标系的d-1维坐标面在d-1维超平面产生的d-2维映射有d个，故原问题等价于求解在该d-1维超平面中，由坐标面产生的d个d-2维映射对一个d-2维超平面的最大划分数。以此类推，最后原问题等价于m+1维超平面中，d个坐标面映射出的m维超平面对一个任意的m维超平面的最大划分数，最后答案显然为B(m,d)。

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我觉得“组合学本质”这一节说成“组合学中的另一种视角”更准确一些。事实上组合学中也可以用到递推思想，递推是一种相对更底层的方法。

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N维的其实就是CN 0+CN一+…一直加到CN（维）。原因就是平面几几相交划分出的新区域，三维最多33相交[打call]

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之前搞研究的时候，找到一篇1966年的文章就讲的这个：大概有C(N,d)个。 论文:GEOMETRICAL PROBABILITY AND RANDOM POINTS ON A HYPERSPHERE1

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