d维空间中两两距离相等的点最多有多少个？

证明有些复杂但是结论实在过于好猜[笑哭]

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那么Hilbert空间和一般的banach空间呢，有没有什么思路

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之前就想过一个问题，n维空间内两两夹角相等的向量最多有几个，当时想出来答案是n+1，并且夹角的余弦值为负n分之一，但是不会证，今天看视频感觉懂点了[哦呼]

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定义如下度量空间：[doge][doge] d(x,y)=0，当x=y时。 d(x,y)=1，当x≠y时。

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可恶脑子好痒

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归纳法缪莎了，低一维的几何中心向高出的一维做垂线。[doge]

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没有之前的有意思了[doge]

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評論區那個說角度相等問題的，如果換成是過原點的直綫夾角，那就很有趣了。這個是我當時機緣巧合看的一篇論文，用圖論證的，蠻有趣的。

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加油！

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数学归纳法+反证是不是秒了[星星眼]

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我有一个问题：d维空间的一组单位基底向量代表d个点，取第d+1个点便构成了d维空间中两两距离相等的点最大集合。如何证明这个第d+1只有两个取法解法？ 一维是一个线段，第d+1个点是(1±1)=(0)or(2)， 二维是正三角形，第d+1个点是(1/2±√3/2，1/2±√3/2)其中正负号同取"+"或同取"-" 三维是正四面体，第d+1个点是(1/3±2/3，1/3±2/3，1/3±2/3)其中正负号同取"+"或同取"-" 四维是正五胞体，第d+1个点是(1/4±√5/4，1/4±√5/4，1/4±√5/4，1/4±√5/4)其中正负号同取"+"或同取"-" d维度是正d元体，第d+1个点是{【1±√(1+d)】/d}^d

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良作无人呐！现在的互联网网民太浮躁了，根本不想静下心来多看多想多学，只追求情绪化泛娱乐的快餐短视频，这是文明的悲哀，也是文明的庆幸(?)。

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_表示下标，^表示上标 d维中，记两两距离相等的点的数量为N_d 记这些点分别为M_i，i=1, 2, 3, ..., N_d 记这些点的距离为δ 有N_d ≥ d+1 (d ∈ N) 证: N_0 = 1 若有N_i ≥ i+1，则再拓展1维，取原超平面的一法向量n 有向量M_i P + k向量n互相相等，i=1, 2, ..., N_d，其中P为这些点的中心 显然∃k 使得向量M_i P + k向量n=δ 于是N_(i+1) ≥ i+2 从而N_d ≥ d+1 (d ∈ N) 在d维中取d+1个距离相等的点 若∃Q使得|向量Q M_i|互相相等，i=1, 2, 3, .., d+1 则Q是这些点的中心 有|向量Q M_i|≠δ 证毕

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试图用高中知识碰瓷： 按照题目条件，假设在d维空间中有Nd个点，两两点之间距离均为1。 已知在一维空间中，只有一条长为1的线段的两个端点满足这个条件，N1=2 在二维空间中，这N2个点能组成一个图形，且至多是二维图形，因此用≥1条线段即可完整围出这个图形。这些线段端点作为这个图形端点的一部分，也必然各自满足端点距离两两为1(实际上也只有俩)。任取其中一条线段放置在从属于这个二维空间的一个一维空间中，现在这个长度为1的线段位置是确定的。已知它的两个端点是这个整体图形的全部端点的一部分，那么只需要证明在这个二维空间中，最多还能找到n个点，让它们自身保持两两距离为1的同时，还能与已经确定的这2个端点距离均为1。然后发现对于二维空间中已经确定的一条线段而言，只能找到一个这样的点，而且必然不与已经确定的线段同处于一条直线上，且它们组成了一个正三角形，即这是唯一解(由勾股定理，如果这个点到线段两个端点距离亦为1，那它关于这个线段的垂心一定也距两个端点相等，也就是中点，而线段中点显然只有一个，所以这个点也只有一个)。所以N2=3。 对于三维空间中N3个点组成的图形而言，它一定由≥1个二维图形围成，而在二维空间中只有正三角形这一个唯一解，所以围成它二维图形都是边长为1的正三角形。然后固定一个正三角形的位置，以下同理，最后也是只能在三维空间中找到另外的一个点(因为三角形的重心只有一个)，N3=4。 以此类推。

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人生里第一篇paper（信号处理的）里的一个核心定理就研究这个问题 证明思路恰好跟up一模一样[打call]

很棒的视频！

这个bgm怎么是Prove You Can Win的背景音乐[doge]

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Finsler几何里有解吗[doge]

加油加油[打call]