【李永乐老师】线性代数第12练-相似矩阵行列式｜多项式行列式恒等（kE别漏掉！）

李永乐考研团队

合集 · 【李永乐老师】考研数学线性代数·每日一练（持续更新） (21)

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Description 
📖 核心方法——相似矩阵的多项式恒等：
看到 A~B，第一反应是特征值相同、行列式相同、迹相同。但这道题考的是多项式恒等——A+kE 和 B+kE 也是相似的，所以行列式也相等。这一步不写，后面没法代数字算。本质是把抽象矩阵转化成具体矩阵再算。

⚠️ 易错点提醒：
① P⁻¹(kE)P = kE，不要写成 kP⁻¹P 然后算成 k 丢了单位矩阵，这里 E 不能丢，因为后面要算 B+E 的3×3矩阵；
② A+kE ~ B+kE 这个结论要对所有 k 都成立，不要只在 k=1 时才想起来用；
③ 算 |B+E| 的时候注意是三阶行列式，按哪一行展开最方便？第二行只有一个 3，其余全 0，直接降阶最快。

💡 本质总结：
这道题考的是相似矩阵的多项式性质。很多同学背了“相似矩阵行列式相同”，但遇到 A+kE 就不敢用了——本质是没理解相似变换的代数结构：相似关系在多项式运算下保持不变。这类“性质迁移”题是考研线代的高频套路，需要形成条件反射。

Comments

winner_queen 9d ago

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