线性代数第10练-正交矩阵行列式计算｜AA^T配E恒等变形

合集 · 【李永乐老师】考研数学线性代数·每日一练（持续更新） (22)

Description

📖 核心方法——配E恒等变形（正交矩阵版）：
看到正交矩阵 A，第一反应就是 AA^T = E。这道题把 E 替换成 AA^T 后，立刻就能提取公因子 A，凑出 A-B 的形式。这类题的灵魂就一句话：“E不是只能写成E，还可以写成AA^T”。

⚠️ 三大易错点（视频里都有讲）：
① |A| 的判断：正交矩阵 |A| = ±1，结合题干 |A| < 0 取 -1，别惯性写成 1；
② 转置行列式：|(A-B)^T| = |A-B|，转置不改变行列式值，不要在前面加负号；
③ |A-B| 与 |B-A| 的关系：四阶矩阵每行提一个负号，共提四次，结果是 +1 倍，不是 -1 倍。阶数是偶数还是奇数，决定了这里要不要变号！

💡 本质总结：
这道题考的不是计算量，是正交矩阵性质的灵活运用。很多同学背了 AA^T=E 但不知道什么时候用，考场上就是“背了白背”。这类“配E”的变形意识，需要反复练才能形成条件反射。