【李永乐老师】线性代数第18练-A²=A且A≠E⇒|A|=0｜反证法 vs 秩法 vs 方程组法

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Description

📖 三种方法对比：
方法一（反证法）：假设 |A|≠0 → A 可逆 → 左乘 A⁻¹ 得 A=E → 与 A≠E 矛盾。核心逻辑：一个满足A²=A的矩阵，如果可逆，那它只能是E。
方法二（秩法）：A(A-E)=O → r(A)+r(A-E)≤n → A-E≠O推出 r(A-E)≥1 → 所以 r(A)<n → |A|=0。核心工具：AB=O 时的秩不等式。
方法三（方程组法）：A(A-E)=O → A-E 的每一列都是 Ax=0 的解 → A-E≠O 说明有非零解 → |A|=0。核心思想：把矩阵乘法翻译成方程组。

⚠️ 易错点：
① 方法一中，左乘 A⁻¹ 后是 A = A⁻¹A² = A⁻¹A = E，注意运算顺序；
② 方法二中，秩不等式 r(A)+r(B)≤n 的前提是 AB=O；
③ 方法三中，“A-E 至少有一列非零”的依据是 A-E≠O，即题干给的 A≠E；
④ 三种方法本质是同一命题的三种表述方式——矩阵语言、秩语言、方程组语言。学会这三种语言的互译，比单独记一种方法更有用。

💡 本质总结：
这道题告诉你的核心结论是：一个非零、非单位阵的幂等矩阵（即A²=A）一定是奇异的（|A|=0）。这道题本身在真题中直接考得不多，但它的三种证明方法——反证法、秩法、方程组法——在线性代数的证明题中反复出现，是必须掌握的基本功。