【李永乐老师】线性代数第19练-m>n时有|AB|=0｜秩法 vs 方程组法

合集 · 【李永乐老师】考研数学线性代数·每日一练（持续更新） (21)

Description

线性代数第19练打卡处！✅ 两种方法你更习惯哪一种？评论区聊聊👀

📖 核心结论：
当 m>n 时，任意 m×n 矩阵 A 与 n×m 矩阵 B 的乘积 AB 的行列式必为 0。

方法一（秩法）：
r(AB) ≤ r(B) ≤ n < m → r(AB)<m → |AB|=0。
三行结束，最快。

方法二（方程组法）：
① BX=0，未知数 m 个，方程 n 个，m>n ⇒ 有非零解；
② 设 d 是它的非零解，则 Bd=0，左乘 A 得 ABd=0；
③ 所以 d 也是 ABX=0 的非零解 ⇒ |AB|=0。
步骤稍多，但把“为什么”讲透了。

⚠️ 易错点：
① 秩法中，r(AB)≤r(B) 和 r(B)≤n 两条都要写，缺一不可。最终得出 r(AB)<m，不是 ≤，因为 n<m 是严格小于；
② 方程组法中，如果 BX=0 有非零解，它们一定也是 ABX=0 的解。反过来不成立——ABX=0 的解不一定是 BX=0 的解。这一步不要搞反方向；
③ 最后一步“ABX=0 有非零解 ⇒ |AB|=0”依据是克拉默法则的逆否命题。

Comments

AI全文总结 2d ago

本视频深入解析了当 $m > n$ 时，矩阵乘积 $AB$ 的行列式必为零的证明方法。 🚀 **核心知识点总结：** 🔹 **秩法视角**：利用 $\text{rank}(AB) \le \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B))$ 快速判定。 🔹 **降维打击**：通过 $B$ 是 $n \times m$ 矩阵且 $n < m$ 推导其秩的上限。 🔹 **方程组转化**：尝试将行列式问题转化为齐次方程组是否存在非零解的问题。 🔹 **逻辑递进**：探讨如何从“解集包含关系”巧妙推导出原方程组的性质。 ⚠️ **高能预警**：面对这种“扁长型”方程组，到底该用哪种思路最快？两种方法竟有如此奇妙的联系！ --内容由@AI视频总结生成，仅供参考【很棒的视频，快给up主点赞】