龙哥的手下 2023-11-06 事实上我觉得这一期“无痛线代”还是有点“痛”的。究其原因我认为是没有指出线性空间实际上是一类代数系统的统称这个事实，没有很平滑地从具体的几何实例过渡到抽象的代数系统里面。比如开头up使用的是二维几何向量作为例子，加法使用的是平行四边形法则。但是到了后面，又突然转换为了坐标相加法则。在这一步其实已经提前使用到了二维几何向量空间和二维数组向量空间的同构性，以及选择基底构建坐标的研究思路。容易让观众先入为主地以为线性空间只是一个几何概念，并且混淆了数组向量和空间向量。而进入到线性递推数列的例子时，又出现了一个思维跳跃，由前面具体的几何向量空间，突然过渡到一个比较抽象的线性空间当中。由于观众没有很好地接受“线性空间是一类代数系统”这个事实，在这里容易消化不良，可能会对于数列的加法难以理解。再之后，视频里又将这个数列空间同构到了二维数组空间，更加地让观众犯糊涂了。我个人认为讲解线性代数，有一个必不可少的内容就是从无到有构建一个线性空间的案例。我用的教材里是通过线性方程组的案例来展示的。但是基于这个视频的思路，我认为可以先介绍二维几何向量相加的平行四边形法则，以及数乘的拉伸法则，再介绍零向量的定义。然后基于纯粹的几何关系，展示几何向量空间所具有的线性组合封闭性，介绍线性相关和无关的含义，同时指出这个系统中线性无关向量的集合最多有两个向量。最后，选择两个线性无关的向量作为基底，构建坐标系，顺利地从几何向量空间过渡到数组向量空间，并且顺便还展示了这两个空间的同构性。算是我的一点个人见解吧，有不正确的地方见谅了。[脱单doge] ♥ 618 ↩ 28
指数时间使坏者-geelaw 2023-11-02 这里有一个比较严重的问题：实际上矩阵定义了列秩（列向量的极大无关组里的向量数目）、行秩（行向量的极大无关组里向量的数目）、秩（行列式不是 0 的最大子阵的阶），然后才证明了这三个东西相等。 另外基的通常定义是极大无关组，而不是极小生成组，但对于线性空间来说这两个概念重合。 ♥ 471 ↩ 15
silverxz 2023-11-02 线性代数的研究对象实则就是线性空间和线性映射，可以说如果不学它们，就不叫学线性代数了。 视频中前半部分所讲的内容可以归结为“秩-零化度定理”，也称为线性映射基本定理，可见其重要性。由于up没有系统地表述，我在此稍稍补充。 秩，就是列空间维度。零化度，就是零空间维度。秩-零化度定理就是说，秩加上零化度就等于原线性空间的维度。反过来就如up所说，从原本的线性空间映射到像空间时有一些维度消失了。去哪了？跑到零空间去了。 这个结论尤其简单优美。我们线性代数通常最先学解线性方程组，而线性方程组解集结构的结论无非就是这一定理的直接推论。如果你没有理解这句话，建议两相对照，仔细体会。 矩阵的秩的许多不等式也都可以从这一定理推出，不用考虑矩阵具体的细节，这就是从线性映射的角度（而非矩阵的角度）考虑问题的优越性。你可以自己尝试。 更进一步，假如有一天学习到抽象代数，这一定理将是同态基本定理的一个具体的例子，可以帮助理解。 ♥ 213 ↩ 4
黑化肥发灰会挥发灰化肥挥发会发黑 2023-11-02 一直不清楚很多数学名词的来历，有些是用了数学家的名字命名，是根据他们自身的性质命名。像之前一直不懂有理数是什么意思，看了视频才知道实际上应该翻译“可比数”更贴切，线性代数也是，啥叫线性非线性，啥叫齐次非齐次，这些词乍一看没头没脑的感觉没那么好理解意思。所以要不大佬做个视频科普一下[doge] ♥ 208 ↩ 14
文剑丶水又二一 2023-11-02 前段时间想解一个非线性微分方程,找到一本书,才第一次真正体会到线性空间和矩阵论的有用性. 虽然最后难度还是超过了我的能力,但真的结合具体的需求来应用线性代数解决问题,就会发现数学的深度和广度是极其惊人的. ♥ 49 ↩ 3
OUMP 2023-11-03 16:10 口误了吗，应该是“第一维是2，第2维度是1，第10001维度是几”[喜欢]不过很喜欢up的这个视频！对我有很大的帮助！（有个小建议：请尽量使用短句（一个句子只有一个谓语），且少用代词😭，长句和指代对知识学习不是很友好，感谢！） ♥ 25 ↩ 3
Oo梦回望月oO 2023-11-02 [呲牙]感谢up的视频，正所谓温故知新。up有没有考虑把线性代数和量子力学的知识结合呢？ 我想到的一个案例是，因为波函数的本征态也可以作为基底，本征态的线性组合也是薛定谔方程的解。由此，可以解释“薛定谔的猫”。【生】和【死】都是本征态，可以被观测。而猫在盒子里时，是【生】和【死】的叠加，虽然叠加后也是薛定谔方程的解，但不可被观测 ♥ 20 ↩ 2
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事实上我觉得这一期“无痛线代”还是有点“痛”的。究其原因我认为是没有指出线性空间实际上是一类代数系统的统称这个事实，没有很平滑地从具体的几何实例过渡到抽象的代数系统里面。比如开头up使用的是二维几何向量作为例子，加法使用的是平行四边形法则。但是到了后面，又突然转换为了坐标相加法则。在这一步其实已经提前使用到了二维几何向量空间和二维数组向量空间的同构性，以及选择基底构建坐标的研究思路。容易让观众先入为主地以为线性空间只是一个几何概念，并且混淆了数组向量和空间向量。而进入到线性递推数列的例子时，又出现了一个思维跳跃，由前面具体的几何向量空间，突然过渡到一个比较抽象的线性空间当中。由于观众没有很好地接受“线性空间是一类代数系统”这个事实，在这里容易消化不良，可能会对于数列的加法难以理解。再之后，视频里又将这个数列空间同构到了二维数组空间，更加地让观众犯糊涂了。我个人认为讲解线性代数，有一个必不可少的内容就是从无到有构建一个线性空间的案例。我用的教材里是通过线性方程组的案例来展示的。但是基于这个视频的思路，我认为可以先介绍二维几何向量相加的平行四边形法则，以及数乘的拉伸法则，再介绍零向量的定义。然后基于纯粹的几何关系，展示几何向量空间所具有的线性组合封闭性，介绍线性相关和无关的含义，同时指出这个系统中线性无关向量的集合最多有两个向量。最后，选择两个线性无关的向量作为基底，构建坐标系，顺利地从几何向量空间过渡到数组向量空间，并且顺便还展示了这两个空间的同构性。算是我的一点个人见解吧，有不正确的地方见谅了。[脱单doge]
♥ 618 ↩ 28
这里有一个比较严重的问题：实际上矩阵定义了列秩（列向量的极大无关组里的向量数目）、行秩（行向量的极大无关组里向量的数目）、秩（行列式不是 0 的最大子阵的阶），然后才证明了这三个东西相等。 另外基的通常定义是极大无关组，而不是极小生成组，但对于线性空间来说这两个概念重合。
♥ 471 ↩ 15
线性代数的研究对象实则就是线性空间和线性映射，可以说如果不学它们，就不叫学线性代数了。 视频中前半部分所讲的内容可以归结为“秩-零化度定理”，也称为线性映射基本定理，可见其重要性。由于up没有系统地表述，我在此稍稍补充。 秩，就是列空间维度。零化度，就是零空间维度。秩-零化度定理就是说，秩加上零化度就等于原线性空间的维度。反过来就如up所说，从原本的线性空间映射到像空间时有一些维度消失了。去哪了？跑到零空间去了。 这个结论尤其简单优美。我们线性代数通常最先学解线性方程组，而线性方程组解集结构的结论无非就是这一定理的直接推论。如果你没有理解这句话，建议两相对照，仔细体会。 矩阵的秩的许多不等式也都可以从这一定理推出，不用考虑矩阵具体的细节，这就是从线性映射的角度（而非矩阵的角度）考虑问题的优越性。你可以自己尝试。 更进一步，假如有一天学习到抽象代数，这一定理将是同态基本定理的一个具体的例子，可以帮助理解。
♥ 213 ↩ 4
一直不清楚很多数学名词的来历，有些是用了数学家的名字命名，是根据他们自身的性质命名。像之前一直不懂有理数是什么意思，看了视频才知道实际上应该翻译“可比数”更贴切，线性代数也是，啥叫线性非线性，啥叫齐次非齐次，这些词乍一看没头没脑的感觉没那么好理解意思。所以要不大佬做个视频科普一下[doge]
♥ 208 ↩ 14
感觉好像高中的向量基底
♥ 158 ↩ 12
平直的向量空间是由基构成的 懂了，直的也是基[doge]
♥ 127 ↩ 7
我打算把丘维声的高等代数那两本书，看到融会贯通，再买设备自己录课，造福大众[OK]
♥ 60 ↩ 24
前段时间想解一个非线性微分方程,找到一本书,才第一次真正体会到线性空间和矩阵论的有用性. 虽然最后难度还是超过了我的能力,但真的结合具体的需求来应用线性代数解决问题,就会发现数学的深度和广度是极其惊人的.
♥ 49 ↩ 3
物理的那个解电路的，似乎就是电路分析里的叠加定理
♥ 39 ↩ 2
小学文化看得津津有味，就喜欢知识划过脑子不留痕迹的感觉[笑哭]
♥ 70 ↩ 3
三连了！这对我一个大一新生理解线性代数很重要
♥ 28 ↩ 6
视频很不错，不过数列那个例子里感觉有个地方不太自然，为什么突然就考虑了等比数列会满足那个方程呢？
♥ 27 ↩ 17
16:10 口误了吗，应该是“第一维是2，第2维度是1，第10001维度是几”[喜欢]不过很喜欢up的这个视频！对我有很大的帮助！（有个小建议：请尽量使用短句（一个句子只有一个谓语），且少用代词😭，长句和指代对知识学习不是很友好，感谢！）
♥ 25 ↩ 3
笑死了，刚刚看了这个视频就做到了斐波那契数列，直接让我把通项公式干出来了
♥ 23 ↩ 1
这期跳过的内容太多了，为什么会有特征方程？为什么线性递推数列要以等比数列作为基底，这些都没解释，对于初学者而言，这不能算是无痛线代，反而越学越迷糊。
♥ 20 ↩ 1
前面有点平淡，感觉没有3b1b讲得好，但是到后面，用线性代数解决物理，化学的思路很决，已三连，催更，另外感觉要有一定的基础才会更好的理解up的话
♥ 20
[呲牙]感谢up的视频，正所谓温故知新。up有没有考虑把线性代数和量子力学的知识结合呢？ 我想到的一个案例是，因为波函数的本征态也可以作为基底，本征态的线性组合也是薛定谔方程的解。由此，可以解释“薛定谔的猫”。【生】和【死】都是本征态，可以被观测。而猫在盒子里时，是【生】和【死】的叠加，虽然叠加后也是薛定谔方程的解，但不可被观测
♥ 20 ↩ 2
我记得我们大学老师说过，直到现在，直线都没有严格定义。
♥ 22 ↩ 3
我真的很喜欢这种数学可视化，以另一个角度看待数学吸引我的兴趣[打call]
♥ 16 ↩ 1