adltkfsjkblk 2025-01-21 感谢漫士的解答，我当时只是抱着试一试的心态问了这个我好奇很久的问题，没想到漫士回复了我，而且出了一期视频来解答我的疑惑，对此我十分的感谢！ ♥ 1275 ↩ 22
漫士沉思录 2025-01-21 感谢大家的反馈！回答几个频繁提到的问题： 0⃣️单位基底和自己内积等于1的依据是什么？硬要说就当一个公理吧！因为我们通常需要和自己内积等于长度平方 1⃣️为什么会有双重线性性和相对位置不变？其实这就是从物理中来的核心原因了。无论是做功、磁通量、光通等等，有一种相同的结构频繁出现：比如考虑用太阳能电池发电，发电的功率显然正比于电池板面积和光照强度，而且在功率限度以内，两道光独立的照在同一块板上的功率应该等于各自功率之和。(双重线性)这个功率跟板和光线的角度有关，但只要板和光线的相对方向一致，你的发电功率应该就是一样的。(相对位置，手性也相等)这类结构的运算频繁出现，需要将两个向量相乘，和数学当中的内积刚好照应。 2⃣️这里只是从一个既有的视角回顾去解释内积，并不代表数学史上真正发现内积的过程。 3⃣️叉乘只存在于三维空间，在一般的维度之内，定义良好的乘法只有乘出标量和乘出张量这两种。 4⃣️有一个问题问的很好，如果我们现在在抽象的意义上讨论内积的根基，又应该怎么定义基底的垂直呢？事实上在这里，最本质的存在是整个空间的结构(微分几何叫度规)，它有三种一体三面的表现方式：内积，夹角，距离。同一个向量跟自己内积就可以得到距离(平方)，距离代入余弦公式就可以得到夹角余弦，而如果是给定夹角，那么正交的基底就是天然给定的，所以三者等价。这个就挺抽象了，大家要是还听不懂之后再做视频吧[脱单doge] ♥ 531 ↩ 23
西贝忄亘又 2025-01-21 已投币，我也是一个高一的学生，比较喜欢数学平时爱想一些奇奇怪怪的问题，当时学这个我也想过为什么，去问老师结果告诉我让我记住就行了，当时真的有点生气，感觉学了一堆东西却好像没学一样，知其然不知其所以然，今天看到这个视频真的很高兴，也感谢那位提出问题的同学，让我知道在这个教育畸形的时代也有和我一样愿意思考的人[大哭] ♥ 503 ↩ 48
玉缀尘 2025-01-22 漫士佬佬，你做的这一期解释从一个新的角度来解释向量运算的问题让我感觉真的挺有意思的，尤其是对正交等于0的解释真的是恰到好处，简洁有力。这是我第一次想在b站专门写一个长的评论，想和大家一起讨论，个人水平有限，要是有什么不恰当的地方，希望大家指出。 首先视频的目的是为了解释向量的基础运算（尤其是内积）是怎么来的。这个问题其实是比较有二义性的，具体来说： 第一种理解：历史中第一次指出是为了处理什么问题，为了解决这种问题为什么要这样定义。 第二种理解：这个概念定义的依据是什么。 或许这样说了以后大家还是会觉得我在说废话，但是稍加思考，你就能发现这个分类操作本身其实已经解决了大家看视频的一些疑惑以及争论。 如果是属于出于第一种理解，那么视频的内容有可能是不存在我们通常理解的“严谨性”的。比如最经典的问题，如果我问你无穷小是怎么来的，积分运算是怎么来的等等，而单纯对于无穷小，在一开始他的使用根本是不够严谨的，因为很多数学家只是直接使用，甚至没有下真正意义上的定义，所以也有相当的数学家觉得是诡异的，可能你会说很多数学大佬都给出了定义啊，但是他们的定义都有着各种不同的缺陷，无法逻辑自洽，这也导致了后来的极限运算积分运算对数学界的一次轰动。那么说这些意味着什么呢？意味着以下几点： 1、 如果你觉得视频中用物理，空间对称等等方式去解释向量是不够严谨的，那是很正常的，因为这个向量的诞生就是为了解释视频中的那些做功，以及图形变换问题，所以有一种拿来就用的感觉，有些地方解释不了是很正常的（先别急着反驳，这个后面还会提到），他的目的只是给出了一个起源的猜测。 2、 如果你认为我的1、中说的“向量的诞生就是为了解释视频中的那些做功”这个观点不够严谨，那么你也是正确的，我只是为了打比方。事实上对于这种强大的数学分支，他的起源并不像1+1=2这么简单，向量的诞生其实是在很多领域共同作用的结果，不仅仅是做功，图像变换，相对论等等，只是到后面被使用的频率越来越高，直到后面有一个类似牛顿一样的集大成者的出现，把这个东西明确提出来，在加以严格定义，当然这个集大成者或许也不是一个人，也可能是一堆不同领域的巨头达成一致观点的结果，然后随着时间的推移，定义被不断完善，可能就与历史脱节了，也就造成了不知道为什么这么定义，甚至不知道为什么要定义这个概念本身。 ♥ 194 ↩ 16
熙熙攘攘的杂货铺 2025-01-22 既然讲了点乘，那么up再讲讲叉乘为啥是另外一个向量，不过分吧，或者尝试讲清楚傅立叶变换？[脱单doge][脱单doge][打call][打call] ♥ 178 ↩ 10
就像风一样灬 2025-01-21 打了半天字，手机突然卡了，那我就不细说了心态有点崩。你这样的看法，我觉得不像是发明人的想法。因为在发明内积的时候，线代只有个雏形，诺特定理更没有提出。决定一条定理能不能被发明出来的本质条件是生产力和生产关系。当时的条件，人们想要的是功。你有点把之后发现的性质当定义了。当时有的工具是笛卡尔坐标系，和笛卡尔坐标系下的矢量表示方法，为了研究功这个东西。你视频的后段有能用的部分。但是我认为有些因果倒置了。你要是感兴趣，就当我做了个小提示，我们可以下来交流，不感兴趣就算了。 ♥ 70 ↩ 27
TF141普莱斯上尉 2025-01-21 三连了，非常好的视频，尽管我以前通过投影的角度得到向量点乘有分配律是自然的，通过3blue1brown的视频看出对称性得到点乘有交换律也是自然的。但是漫士的视频还是把我对向量乘法的理解拔高了一个维度。 同时我也非常认同，对公式和定理的掌握，仅停留在记忆层面是不合格的，对推导过程的熟悉是最基本的，像漫士这样对底层逻辑的深刻挖掘才是到位的。但不是所有人都能意识到这一点，在我读高中的时候，有老师只要求记忆公式，向他求教推导就一问三不知，分分钟打发你走，还以自己狠抓公式默写而标榜自己认真负责。我读本科之后辅导高中生，总有学生跟我嘴硬，说记住公式就能做题，看推导干什么。且不说定理背后的底层逻辑和推导蕴含的思想是多么珍贵的财富，弃之可惜，哪怕从最功利的角度出发，高考命题也不是没有拿公式的推导做过文章。2021年全国一卷的第十题，和漫士的视频中的图一比较，相信大家懂得都懂。尽管2021年全国一卷我个人认为出的比较平庸，这道第十题也不难，但是了解定理推导和定理背后的底层逻辑对解题能力大有裨益这一点，一定是毋庸置疑的。 比起点乘，我更好奇的是叉乘的定义，尽管研究某个向量a的在其他向量b上的切向分量和a的模长相乘是自然的，但是把叉乘定义成垂直于这个平面的向量的做法还是过于跳脱，难以捉摸。3blue1brown中的视频通过平行六面体和向量混合积的角度说明了为何这样定义叉乘，但是这个定义叉乘的思想和角动量等概念的距离还是太过遥远。角动量守恒很像是叉乘保分配律和向量对自身叉乘为零这两条的直接结果，这样看起来，角动量守恒像是因为叉乘这样定义才成立，好像有点发明角动量守恒而不是发现角动量守恒的味道。而且量子力学中，把角动量算符直接定义成坐标算符和动量算符的叉乘是在太过震撼也太过神秘，非常希望看漫士讲一讲！持续关注，一直支持，愿漫士越来越好，观众们都前程似锦！ ♥ 43 ↩ 4
-河狸河狸- 2025-01-21 UP，你刚上高中时是怎么认识高中数学出现的各种定理的[笑哭]。我感觉我刚上高中时，对数学新出现的内容是蒙的，和初中数学割裂感太大了。。。 而且老师可能也是考虑到教学时间的问题，只按书本过一下原理就开始让背公式练题了[笑哭]。我本人还属于那种得先搞清楚这是个啥，才能入脑运用的人。。。搞得我高中数学像是在学文科，只会盲目背诵公式做题，高中三年数学都是朦胧的。。。 当然上述也只是讲我自身所遇到的情况，我们高中数学老师也是很厉害的，同学也有不少数学好的。只是感觉中学关于数学底层原理科普的太少了，更为UP这样的数学科普人点个大大的赞[支持]。希望这种科普视频内容能多进中学，帮帮基层教师和同学们！[抱拳] ♥ 33 ↩ 6
你的粉丝-- 2025-01-21 高中做的一道向量的题，给了一个向量的方程，完全不会做。一看答案，直接把这个式子因式分解了，然后考虑几何意义。我直接惊为天人[笑哭]为什么可以这么搞啊[笑哭] ♥ 33 ↩ 7
jzk不是酱汁块 2025-01-21 老师，我们知道：两条直线k1=k2，则它们平行；k1*k2=-1，则它们垂直。那如果k1=k2=i呢？i=i，i*i=-1，所以它们既平行又垂直？ ♥ 31 ↩ 7
note6180339 2025-01-21 突然想问漫士一个问题： 为什么在现代数学里结合律非常重要？ 这个疑问是在关于代数系统和向量乘法的学习里，具体是四元数的扩展分歧里产生的。 四元数扩展到八元数会导致结合律降级成交错律，而扩展到几何代数会损失唯一分解性。而现在对于几何代数的研究算是很完善了，但对于八元数只有一个法诺平面用于乘法计算。而且明确说八元数是因为不满足结合律而“不好用”。 更具体的，群的四个定义里，也就结合律这一条有点突兀：封闭性是为了保证论证能覆盖所有情况，幺元则是源自不变性，逆元的话是唯一分解性所保证的可逆性，但是没有说明结合律到底是源自于什么。我知道这很好用，但是我不知道这如何“自然而然”地得来，总感觉是做了很多限制才得到的一个要求…/ ♥ 27 ↩ 5
靈芝茶 2025-01-21 漫士您好，我是一名初中生，对于您最新一期无痛线代中3:01的部分我有一些疑惑。我们物理书上写的是功等于力与物体在力的方向上移动的距离的乘积，以我的理解，F2做的功W2=F2*s1，但计算F1做的功应该不是W1=F1*s1，而是要把F1分解成向右的力F3和向上的力F4，因为物体向上移动的距离为0，所以W1=W3+W4=F3*s1+F4*0=F3*s1。 ♥ 22 ↩ 4
晴空中的尤里sa 2025-01-21 向量就是带方向的量，长度可以看成“血条”，方向就是它想要让质点变化的方向。问题其实是一个苹果加上三个苹果很好理解，一个苹果乘上3也很好理解，但什么叫一个苹果乘上三个苹果呢？ 我觉得这时候就不能再带苹果的例子了，因为苹果可以看成是“自指”的标量，没有方向的量放在向量里就会很bug。其实单看数值，a*a等于a方，它对应的就不再是“a”这个层次的而是“面积/平方”的层次了，把向量积看成“升维”会好理解一些。 ♥ 25 ↩ 2
Comments
感谢漫士的解答，我当时只是抱着试一试的心态问了这个我好奇很久的问题，没想到漫士回复了我，而且出了一期视频来解答我的疑惑，对此我十分的感谢！
♥ 1275 ↩ 22
昨天的辩论很不错，感觉只有你状态在线
♥ 522 ↩ 16
感谢大家的反馈！回答几个频繁提到的问题： 0⃣️单位基底和自己内积等于1的依据是什么？硬要说就当一个公理吧！因为我们通常需要和自己内积等于长度平方 1⃣️为什么会有双重线性性和相对位置不变？其实这就是从物理中来的核心原因了。无论是做功、磁通量、光通等等，有一种相同的结构频繁出现：比如考虑用太阳能电池发电，发电的功率显然正比于电池板面积和光照强度，而且在功率限度以内，两道光独立的照在同一块板上的功率应该等于各自功率之和。(双重线性)这个功率跟板和光线的角度有关，但只要板和光线的相对方向一致，你的发电功率应该就是一样的。(相对位置，手性也相等)这类结构的运算频繁出现，需要将两个向量相乘，和数学当中的内积刚好照应。 2⃣️这里只是从一个既有的视角回顾去解释内积，并不代表数学史上真正发现内积的过程。 3⃣️叉乘只存在于三维空间，在一般的维度之内，定义良好的乘法只有乘出标量和乘出张量这两种。 4⃣️有一个问题问的很好，如果我们现在在抽象的意义上讨论内积的根基，又应该怎么定义基底的垂直呢？事实上在这里，最本质的存在是整个空间的结构(微分几何叫度规)，它有三种一体三面的表现方式：内积，夹角，距离。同一个向量跟自己内积就可以得到距离(平方)，距离代入余弦公式就可以得到夹角余弦，而如果是给定夹角，那么正交的基底就是天然给定的，所以三者等价。这个就挺抽象了，大家要是还听不懂之后再做视频吧[脱单doge]
♥ 531 ↩ 23
已投币，我也是一个高一的学生，比较喜欢数学平时爱想一些奇奇怪怪的问题，当时学这个我也想过为什么，去问老师结果告诉我让我记住就行了，当时真的有点生气，感觉学了一堆东西却好像没学一样，知其然不知其所以然，今天看到这个视频真的很高兴，也感谢那位提出问题的同学，让我知道在这个教育畸形的时代也有和我一样愿意思考的人[大哭]
♥ 503 ↩ 48
看完3B1B再看漫士就能感受到知识飘过脑海的乐趣[doge]
♥ 260 ↩ 4
漫士佬佬，你做的这一期解释从一个新的角度来解释向量运算的问题让我感觉真的挺有意思的，尤其是对正交等于0的解释真的是恰到好处，简洁有力。这是我第一次想在b站专门写一个长的评论，想和大家一起讨论，个人水平有限，要是有什么不恰当的地方，希望大家指出。 首先视频的目的是为了解释向量的基础运算（尤其是内积）是怎么来的。这个问题其实是比较有二义性的，具体来说： 第一种理解：历史中第一次指出是为了处理什么问题，为了解决这种问题为什么要这样定义。 第二种理解：这个概念定义的依据是什么。 或许这样说了以后大家还是会觉得我在说废话，但是稍加思考，你就能发现这个分类操作本身其实已经解决了大家看视频的一些疑惑以及争论。 如果是属于出于第一种理解，那么视频的内容有可能是不存在我们通常理解的“严谨性”的。比如最经典的问题，如果我问你无穷小是怎么来的，积分运算是怎么来的等等，而单纯对于无穷小，在一开始他的使用根本是不够严谨的，因为很多数学家只是直接使用，甚至没有下真正意义上的定义，所以也有相当的数学家觉得是诡异的，可能你会说很多数学大佬都给出了定义啊，但是他们的定义都有着各种不同的缺陷，无法逻辑自洽，这也导致了后来的极限运算积分运算对数学界的一次轰动。那么说这些意味着什么呢？意味着以下几点： 1、 如果你觉得视频中用物理，空间对称等等方式去解释向量是不够严谨的，那是很正常的，因为这个向量的诞生就是为了解释视频中的那些做功，以及图形变换问题，所以有一种拿来就用的感觉，有些地方解释不了是很正常的（先别急着反驳，这个后面还会提到），他的目的只是给出了一个起源的猜测。 2、 如果你认为我的1、中说的“向量的诞生就是为了解释视频中的那些做功”这个观点不够严谨，那么你也是正确的，我只是为了打比方。事实上对于这种强大的数学分支，他的起源并不像1+1=2这么简单，向量的诞生其实是在很多领域共同作用的结果，不仅仅是做功，图像变换，相对论等等，只是到后面被使用的频率越来越高，直到后面有一个类似牛顿一样的集大成者的出现，把这个东西明确提出来，在加以严格定义，当然这个集大成者或许也不是一个人，也可能是一堆不同领域的巨头达成一致观点的结果，然后随着时间的推移，定义被不断完善，可能就与历史脱节了，也就造成了不知道为什么这么定义，甚至不知道为什么要定义这个概念本身。
♥ 194 ↩ 16
既然讲了点乘，那么up再讲讲叉乘为啥是另外一个向量，不过分吧，或者尝试讲清楚傅立叶变换？[脱单doge][脱单doge][打call][打call]
♥ 178 ↩ 10
公理化时漏了一点，就是单位化，其它的没啥问题 说实话公理化才真的是正道，从简单的公理推出各种结论比上来就是莫名其妙的各种定义好多了
♥ 149 ↩ 4
“OK，接下来我们把第二条公理改吧改吧，就得到了酉空间（幺正空间）和辛空间”
♥ 96 ↩ 6
老师，线代，怕怕，捞捞
♥ 50
打了半天字，手机突然卡了，那我就不细说了心态有点崩。你这样的看法，我觉得不像是发明人的想法。因为在发明内积的时候，线代只有个雏形，诺特定理更没有提出。决定一条定理能不能被发明出来的本质条件是生产力和生产关系。当时的条件，人们想要的是功。你有点把之后发现的性质当定义了。当时有的工具是笛卡尔坐标系，和笛卡尔坐标系下的矢量表示方法，为了研究功这个东西。你视频的后段有能用的部分。但是我认为有些因果倒置了。你要是感兴趣，就当我做了个小提示，我们可以下来交流，不感兴趣就算了。
♥ 70 ↩ 27
三连了，非常好的视频，尽管我以前通过投影的角度得到向量点乘有分配律是自然的，通过3blue1brown的视频看出对称性得到点乘有交换律也是自然的。但是漫士的视频还是把我对向量乘法的理解拔高了一个维度。 同时我也非常认同，对公式和定理的掌握，仅停留在记忆层面是不合格的，对推导过程的熟悉是最基本的，像漫士这样对底层逻辑的深刻挖掘才是到位的。但不是所有人都能意识到这一点，在我读高中的时候，有老师只要求记忆公式，向他求教推导就一问三不知，分分钟打发你走，还以自己狠抓公式默写而标榜自己认真负责。我读本科之后辅导高中生，总有学生跟我嘴硬，说记住公式就能做题，看推导干什么。且不说定理背后的底层逻辑和推导蕴含的思想是多么珍贵的财富，弃之可惜，哪怕从最功利的角度出发，高考命题也不是没有拿公式的推导做过文章。2021年全国一卷的第十题，和漫士的视频中的图一比较，相信大家懂得都懂。尽管2021年全国一卷我个人认为出的比较平庸，这道第十题也不难，但是了解定理推导和定理背后的底层逻辑对解题能力大有裨益这一点，一定是毋庸置疑的。 比起点乘，我更好奇的是叉乘的定义，尽管研究某个向量a的在其他向量b上的切向分量和a的模长相乘是自然的，但是把叉乘定义成垂直于这个平面的向量的做法还是过于跳脱，难以捉摸。3blue1brown中的视频通过平行六面体和向量混合积的角度说明了为何这样定义叉乘，但是这个定义叉乘的思想和角动量等概念的距离还是太过遥远。角动量守恒很像是叉乘保分配律和向量对自身叉乘为零这两条的直接结果，这样看起来，角动量守恒像是因为叉乘这样定义才成立，好像有点发明角动量守恒而不是发现角动量守恒的味道。而且量子力学中，把角动量算符直接定义成坐标算符和动量算符的叉乘是在太过震撼也太过神秘，非常希望看漫士讲一讲！持续关注，一直支持，愿漫士越来越好，观众们都前程似锦！
♥ 43 ↩ 4
@泰勒猫爱丽丝 这么高强度上网是吧，快去给我更新
♥ 62 ↩ 1
UP，你刚上高中时是怎么认识高中数学出现的各种定理的[笑哭]。我感觉我刚上高中时，对数学新出现的内容是蒙的，和初中数学割裂感太大了。。。 而且老师可能也是考虑到教学时间的问题，只按书本过一下原理就开始让背公式练题了[笑哭]。我本人还属于那种得先搞清楚这是个啥，才能入脑运用的人。。。搞得我高中数学像是在学文科，只会盲目背诵公式做题，高中三年数学都是朦胧的。。。 当然上述也只是讲我自身所遇到的情况，我们高中数学老师也是很厉害的，同学也有不少数学好的。只是感觉中学关于数学底层原理科普的太少了，更为UP这样的数学科普人点个大大的赞[支持]。希望这种科普视频内容能多进中学，帮帮基层教师和同学们！[抱拳]
♥ 33 ↩ 6
高中做的一道向量的题，给了一个向量的方程，完全不会做。一看答案，直接把这个式子因式分解了，然后考虑几何意义。我直接惊为天人[笑哭]为什么可以这么搞啊[笑哭]
♥ 33 ↩ 7
老师，我们知道：两条直线k1=k2，则它们平行；k1*k2=-1，则它们垂直。那如果k1=k2=i呢？i=i，i*i=-1，所以它们既平行又垂直？
♥ 31 ↩ 7
突然想问漫士一个问题： 为什么在现代数学里结合律非常重要？ 这个疑问是在关于代数系统和向量乘法的学习里，具体是四元数的扩展分歧里产生的。 四元数扩展到八元数会导致结合律降级成交错律，而扩展到几何代数会损失唯一分解性。而现在对于几何代数的研究算是很完善了，但对于八元数只有一个法诺平面用于乘法计算。而且明确说八元数是因为不满足结合律而“不好用”。 更具体的，群的四个定义里，也就结合律这一条有点突兀：封闭性是为了保证论证能覆盖所有情况，幺元则是源自不变性，逆元的话是唯一分解性所保证的可逆性，但是没有说明结合律到底是源自于什么。我知道这很好用，但是我不知道这如何“自然而然”地得来，总感觉是做了很多限制才得到的一个要求…/
♥ 27 ↩ 5
还不够，向量的内积为什么必须是数字结果，而不是向量结果？内积的结果到底是什么？比如你用f乘s，物理上是功，但是数学上是什么呢？
♥ 23 ↩ 8
漫士您好，我是一名初中生，对于您最新一期无痛线代中3:01的部分我有一些疑惑。我们物理书上写的是功等于力与物体在力的方向上移动的距离的乘积，以我的理解，F2做的功W2=F2*s1，但计算F1做的功应该不是W1=F1*s1，而是要把F1分解成向右的力F3和向上的力F4，因为物体向上移动的距离为0，所以W1=W3+W4=F3*s1+F4*0=F3*s1。
♥ 22 ↩ 4
向量就是带方向的量，长度可以看成“血条”，方向就是它想要让质点变化的方向。问题其实是一个苹果加上三个苹果很好理解，一个苹果乘上3也很好理解，但什么叫一个苹果乘上三个苹果呢？ 我觉得这时候就不能再带苹果的例子了，因为苹果可以看成是“自指”的标量，没有方向的量放在向量里就会很bug。其实单看数值，a*a等于a方，它对应的就不再是“a”这个层次的而是“面积/平方”的层次了，把向量积看成“升维”会好理解一些。
♥ 25 ↩ 2