Gruidaer 2023-10-14 大一的时候学线代，当时的老师并没有对其本质作更深的解释，这样的后果就是，他似乎只是在强行定义一些运算规则，强行地塞了一些概念。对于为什么要作出这样的定义，要用来解决什么问题，当时一点都不知道 但后来再学这些东西，阅读了丘维声老师的高等代数，才发现这其中的精妙。如果不对本质作出足够的诠释，这门课的确会非常枯燥，但如果能窥探到更深的关系，这门课真是美不胜收 再次安利一下丘维声老师的高等代数，B站也有老人家的视频课[保卫萝卜_哇] ♥ 1506 ↩ 21
silverxz 2023-10-14 有3b1b珠玉在前，做一份体系完整的线性代数教程是需要勇气的，值得期待。 想做一个小的补充讨论。如果我们问一个工科生，或者问一个初学者，什么是向量？他们很可能会说，向量是一列有顺序的数。视频中就是这样说的，初学者和工科生确实也完全可以这样理解。但是，对于有意深入学习的非初学者，这里的微妙区别需要辨析。（如果你是初学者，那么下面就不用看了，up讲的没问题） 回到定义，什么是向量？唯一的正确答案是，线性空间中的元素称为向量——因为这就是定义。它跟我们说的“一列数”有什么区别呢？区别在于，“一列数”是这个向量在某组基下的坐标，而非向量本身。比如v=【1,2,4】描述的是e_1+2e_2+4e_3这个向量，其中e_1,e_2,e_3是线性空间的一组基。 如果我们没有选定线性空间的一组基，那么向量这个概念仍然存在，但我们是没法给出这样一列数的。就如同，我们所处的位置有经纬度；但显然，在没有发明经纬度的时代，“位置”这个概念仍然存在。 对于工科生来说，他们接触到的线性空间几乎总是R^n和C^n，基总是标准正交基，因此忽视这个微妙的区别也无伤大雅。但它们是有实质区别的，坐标是向量从某组基观察得到的一个外在表现，而非向量本身。你或许觉得从线性空间中选取一组基是很自然的，但是，你想想，区间上所有连续函数关于加法和数乘构成线性空间，它上面的基是什么呢？ 最后引用孔良在《1+1=2》中的一段话，我也还在体会，有线性代数基础的人也可以体会一下。 “很多学生一想到一个线性空间，就自动给它装上一个向量基。事实上（线性空间＋给定的基）是和线性空间完全不一样的数学结构！不明白这个就无法明白一个线性空间和它的对偶空间的区别，到了微分几何，也会困惑切空间和余切空间的区别。一个有限维线性空间和它的对偶空间有无数线性同构，但是没有一个是自然的！但是一个有限维线性空间到它的对偶空间的对偶空间有一个自然的同构。” ♥ 619 ↩ 19
TF141普莱斯上尉 2023-10-14 UP更的内容多一点啊，上次看到特别舒服的线性代数教程还是3Blue1Brown,但是他发的内容不太多，希望UP能像3Blue1Brown一样深刻，同时最好也能尽量完整的介绍这个体系。 ♥ 436 ↩ 7
电石QwQ 2023-10-14 考研狗深有感悟，大一学的线性代数啥也不是[笑哭][笑哭]之前看过蓝眼b1b3的视频，感觉懂了一些，但是没过多久，还是又忘了，不过对于向量这种东西，能够从脑海里具象化一些东西了。总之，很期待UP主做更多这方面的内容，让数学不再是一个枯燥的学科[打call][打call][打call] ♥ 314 ↩ 7
InFeante 2023-10-14 给大一新生推荐本线代教材，不要被同济版毒害了：线性代数应该这么学（Linear Algebra Done Right)，理工科学生建议一定要把线代学号，因为工作真的能用到，比高数还重要 ♥ 330 ↩ 14
helloworld525 2023-10-15 其实我觉得吧，线性代数难学，一个原因是矩阵乘法应该是大多数人接触到的第一个“具备加法交换律，但不具备乘法交换律”的运算。虽然矩阵运算本质上由加法和乘法组成，但却失去了交换性。 ♥ 199 ↩ 8
LJZheng 2023-10-17 人们发现把大量相同的数字相加用加法表述出来太麻烦，于是就有了乘法； 人们发现把大量相同的数字相乘用乘法表述出来太麻烦，于是就有了乘方； 人们发现把大量相似的数字运算用算式表述出来太麻烦，于是就有了代数； 人们发现把大量相似的代数运算用公式表述出来太麻烦，于是就有了线性代数； ♥ 48
赛琳娜selena1 2023-10-14 补充一下。 火柴人和数学里有几秒出现了一个东西叫 SpanR4{x1,x2,x3,x4} 这里代表着一个概念叫“线性生成空间”（Span),在这个例子意思是这四个向量和他们经过数乘和相加后所有可能的结果。 而R4则代表着“秩”（ Rank),简单来说就是线性空间的维度--在这个例子中就代表着如果括号里的向量是4个四维空间里的向量，并且如果对他们进行数乘和相加，其所有可能的结果最终会填满整个四维空间，这就代表着这四个向量组成的线性空间的维度是四维，或者说他们组成的线性空间就是整个四维空间，写作:R4 换言之，如果n个向量和他们的“线性生成空间”（就是他们经过数乘和相加后所有可能的结果）能填满他们所对应的n维空间，这时就可以说这些向量的“秩”，或者说它们所组成的线性空间的维度就是n维，写作：Rn ♥ 42 ↩ 2
AI视频小助理 2023-10-15 一、线性代数的本质和学习方法，从向量的定义入手，通过动画和跨学科的例子生动地讲解了线性代数的知识点，帮助学生理解和掌握这门基础学科。 00:07 - 线性代数是现代科学和数学的基础 00:18 - 线性代数的学习门槛很低，但涉及的思想观点非常有益 03:36 - 向量可以理解成把数字串成一串糖葫芦，需要满足一些要求 二、向量的加法含义和线性映射的定义，以及它们的关系和应用。通过比喻和例子，帮助读者更深入地理解线性代数的本质。 04:20 - 向量加法的含义是平行四边形组合乘以某一个数字 04:39 - 电路状态可以用几个支路的电流表示，可以看成是一个向量 07:21 - 旋转操作是标准线性映射，相当于把水果混合榨汁 三、从小学奥数经典问题"鸡兔同笼"出发，介绍了线性代数视角下的问题解决方法，展现了向量和线性映射的概念。 08:40 - 从小学奥数的经典噩梦鸡兔同笼开始说起 08:58 - 让所有兔子都抬起前腿站起来，鸡和兔子都变成两只脚着地 11:34 - 求解逆映射，也就是解线性方程组的过程 四、线性映射的概念和应用，以鸡兔同笼问题和化学方程式配平为例，讲解了如何运用矩阵乘法求解线性映射的问题。 12:57 - 线性映射的关键在于输入向量的每个数字的影响是独立的 13:27 - 通过矩阵乘法，可以简洁地表示一个线性组合的过程 16:23 - 化学方程式的配平也是通过线性组合若干个向量来给出输出的，每个向量都有着自然含义 五、线性映射内部存储的向量所代表的实际含义，以及如何通过线性空间的概念理解方程组是否有解。 17:16 - 化学物质的化学式代表每个原子的数量 18:36 - 通过线性映射的解方程组的几何意义深入理解 20:30 - 理解线性空间的范围和无解的情况，推广到更多维度和未知数 --本内容由AI视频小助理生成，关注解锁AI助理，由@菲尔兹洛伦兹 召唤发送 ♥ 44
今天玩网易明天娶杨笠 2023-10-14 UP有个问题我直觉是对的但是不知道怎么证明 矩阵A乘以向量x等价于对这个向量x进行多次平移、旋转、镜像、拉伸变换的组合 如果矩阵A不可逆则说明这个平移、旋转、镜像、拉伸的组合不可逆 可是平移、旋转和镜像任何时候都是可逆的变换 所以矩阵A不可逆的充要条件就是这个变换组合中出现了“拉伸为0倍”的变换 这样试图寻找矩阵A的逆运算时，就会出现类似分母为0的问题导致没有逆运算 但是一直没想明白怎么证明这个 ♥ 24 ↩ 7
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大一的时候学线代，当时的老师并没有对其本质作更深的解释，这样的后果就是，他似乎只是在强行定义一些运算规则，强行地塞了一些概念。对于为什么要作出这样的定义，要用来解决什么问题，当时一点都不知道 但后来再学这些东西，阅读了丘维声老师的高等代数，才发现这其中的精妙。如果不对本质作出足够的诠释，这门课的确会非常枯燥，但如果能窥探到更深的关系，这门课真是美不胜收 再次安利一下丘维声老师的高等代数，B站也有老人家的视频课[保卫萝卜_哇]
♥ 1506 ↩ 21
[doge]汤老师，3行4列行列式怎么求解
♥ 789 ↩ 29
有3b1b珠玉在前，做一份体系完整的线性代数教程是需要勇气的，值得期待。 想做一个小的补充讨论。如果我们问一个工科生，或者问一个初学者，什么是向量？他们很可能会说，向量是一列有顺序的数。视频中就是这样说的，初学者和工科生确实也完全可以这样理解。但是，对于有意深入学习的非初学者，这里的微妙区别需要辨析。（如果你是初学者，那么下面就不用看了，up讲的没问题） 回到定义，什么是向量？唯一的正确答案是，线性空间中的元素称为向量——因为这就是定义。它跟我们说的“一列数”有什么区别呢？区别在于，“一列数”是这个向量在某组基下的坐标，而非向量本身。比如v=【1,2,4】描述的是e_1+2e_2+4e_3这个向量，其中e_1,e_2,e_3是线性空间的一组基。 如果我们没有选定线性空间的一组基，那么向量这个概念仍然存在，但我们是没法给出这样一列数的。就如同，我们所处的位置有经纬度；但显然，在没有发明经纬度的时代，“位置”这个概念仍然存在。 对于工科生来说，他们接触到的线性空间几乎总是R^n和C^n，基总是标准正交基，因此忽视这个微妙的区别也无伤大雅。但它们是有实质区别的，坐标是向量从某组基观察得到的一个外在表现，而非向量本身。你或许觉得从线性空间中选取一组基是很自然的，但是，你想想，区间上所有连续函数关于加法和数乘构成线性空间，它上面的基是什么呢？ 最后引用孔良在《1+1=2》中的一段话，我也还在体会，有线性代数基础的人也可以体会一下。 “很多学生一想到一个线性空间，就自动给它装上一个向量基。事实上（线性空间＋给定的基）是和线性空间完全不一样的数学结构！不明白这个就无法明白一个线性空间和它的对偶空间的区别，到了微分几何，也会困惑切空间和余切空间的区别。一个有限维线性空间和它的对偶空间有无数线性同构，但是没有一个是自然的！但是一个有限维线性空间到它的对偶空间的对偶空间有一个自然的同构。”
♥ 619 ↩ 19
UP更的内容多一点啊，上次看到特别舒服的线性代数教程还是3Blue1Brown,但是他发的内容不太多，希望UP能像3Blue1Brown一样深刻，同时最好也能尽量完整的介绍这个体系。
♥ 436 ↩ 7
提前学习真的能让你的高中学的更通透[打call]
♥ 435 ↩ 27
谢谢大佬，最近几天在忙活图形学，正愁着坐标系不会转呢[笑哭]
♥ 320 ↩ 19
考研狗深有感悟，大一学的线性代数啥也不是[笑哭][笑哭]之前看过蓝眼b1b3的视频，感觉懂了一些，但是没过多久，还是又忘了，不过对于向量这种东西，能够从脑海里具象化一些东西了。总之，很期待UP主做更多这方面的内容，让数学不再是一个枯燥的学科[打call][打call][打call]
♥ 314 ↩ 7
给大一新生推荐本线代教材，不要被同济版毒害了：线性代数应该这么学（Linear Algebra Done Right)，理工科学生建议一定要把线代学号，因为工作真的能用到，比高数还重要
♥ 330 ↩ 14
提前学习真的能让你的高中学的更通透[打call]
♥ 271 ↩ 5
其实我觉得吧，线性代数难学，一个原因是矩阵乘法应该是大多数人接触到的第一个“具备加法交换律，但不具备乘法交换律”的运算。虽然矩阵运算本质上由加法和乘法组成，但却失去了交换性。
♥ 199 ↩ 8
我的大学物理老师：量子力学是物理里最简单的一门课，因为量子力学是线性的，别的物理课都不是线性的[脱单doge]
♥ 66 ↩ 3
想问问大佬 如果我想学习人工智能 是学习线性代数比较好还是去学高等线代呢[星星眼]
♥ 70 ↩ 12
线性代数哪里难了，有些时候找找自己的原因，这么多年难度都没变，有没有认真学[doge][doge][doge]
♥ 47 ↩ 1
人们发现把大量相同的数字相加用加法表述出来太麻烦，于是就有了乘法； 人们发现把大量相同的数字相乘用乘法表述出来太麻烦，于是就有了乘方； 人们发现把大量相似的数字运算用算式表述出来太麻烦，于是就有了代数； 人们发现把大量相似的代数运算用公式表述出来太麻烦，于是就有了线性代数；
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补充一下。 火柴人和数学里有几秒出现了一个东西叫 SpanR4{x1,x2,x3,x4} 这里代表着一个概念叫“线性生成空间”（Span),在这个例子意思是这四个向量和他们经过数乘和相加后所有可能的结果。 而R4则代表着“秩”（ Rank),简单来说就是线性空间的维度--在这个例子中就代表着如果括号里的向量是4个四维空间里的向量，并且如果对他们进行数乘和相加，其所有可能的结果最终会填满整个四维空间，这就代表着这四个向量组成的线性空间的维度是四维，或者说他们组成的线性空间就是整个四维空间，写作:R4 换言之，如果n个向量和他们的“线性生成空间”（就是他们经过数乘和相加后所有可能的结果）能填满他们所对应的n维空间，这时就可以说这些向量的“秩”，或者说它们所组成的线性空间的维度就是n维，写作：Rn
♥ 42 ↩ 2
感觉自己挺幸运的，用的教材愿意讲原理，老师也主要讲根源和原理（可能是他老了吧，不想讲题目）
♥ 31 ↩ 3
一、线性代数的本质和学习方法，从向量的定义入手，通过动画和跨学科的例子生动地讲解了线性代数的知识点，帮助学生理解和掌握这门基础学科。 00:07 - 线性代数是现代科学和数学的基础 00:18 - 线性代数的学习门槛很低，但涉及的思想观点非常有益 03:36 - 向量可以理解成把数字串成一串糖葫芦，需要满足一些要求 二、向量的加法含义和线性映射的定义，以及它们的关系和应用。通过比喻和例子，帮助读者更深入地理解线性代数的本质。 04:20 - 向量加法的含义是平行四边形组合乘以某一个数字 04:39 - 电路状态可以用几个支路的电流表示，可以看成是一个向量 07:21 - 旋转操作是标准线性映射，相当于把水果混合榨汁 三、从小学奥数经典问题"鸡兔同笼"出发，介绍了线性代数视角下的问题解决方法，展现了向量和线性映射的概念。 08:40 - 从小学奥数的经典噩梦鸡兔同笼开始说起 08:58 - 让所有兔子都抬起前腿站起来，鸡和兔子都变成两只脚着地 11:34 - 求解逆映射，也就是解线性方程组的过程 四、线性映射的概念和应用，以鸡兔同笼问题和化学方程式配平为例，讲解了如何运用矩阵乘法求解线性映射的问题。 12:57 - 线性映射的关键在于输入向量的每个数字的影响是独立的 13:27 - 通过矩阵乘法，可以简洁地表示一个线性组合的过程 16:23 - 化学方程式的配平也是通过线性组合若干个向量来给出输出的，每个向量都有着自然含义 五、线性映射内部存储的向量所代表的实际含义，以及如何通过线性空间的概念理解方程组是否有解。 17:16 - 化学物质的化学式代表每个原子的数量 18:36 - 通过线性映射的解方程组的几何意义深入理解 20:30 - 理解线性空间的范围和无解的情况，推广到更多维度和未知数 --本内容由AI视频小助理生成，关注解锁AI助理，由@菲尔兹洛伦兹 召唤发送
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UP有个问题我直觉是对的但是不知道怎么证明 矩阵A乘以向量x等价于对这个向量x进行多次平移、旋转、镜像、拉伸变换的组合 如果矩阵A不可逆则说明这个平移、旋转、镜像、拉伸的组合不可逆 可是平移、旋转和镜像任何时候都是可逆的变换 所以矩阵A不可逆的充要条件就是这个变换组合中出现了“拉伸为0倍”的变换 这样试图寻找矩阵A的逆运算时，就会出现类似分母为0的问题导致没有逆运算 但是一直没想明白怎么证明这个
♥ 24 ↩ 7
当年线性代数补考了三次，一直考到快毕业，是真的学不懂，微积分那些学起来就觉得很轻松，这东西真的是与天份有关
♥ 28 ↩ 1