不要再歪了啊 2023-04-19 方程组未知数个数就是A所处在维度数，而A的秩就是A的维度(比如3维世界的一张纸，未知数为3，秩为2)，而AX=0求是与A垂直的向量，假如A是1维，处在3维空间，那么与它垂直的是一个平面内的向量，这个平面里的向量用i和j两个就可以全部表示，也就是基础解系个数为2(3-1），以此类推到n维 ♥ 387 ↩ 39
陌于- 2023-01-19 首相我们要知道系数矩阵的秩实际上是独立方程组的个数（其他的n-r个方程可以由n个方程线性表示），我们知道，有r个独立的方程，但是却又有x1～xn共n个未知数，那么就意味着存在n-r个自由变量，我们称其为没有约束的解，那么这些解就张成了n-r维的空间，那么刚好可以由n-r个线性无关的向量来表示这个n-r维空间，使得方程成立，那么这n-r个线性无关的解就是所谓的基础解系。 ♥ 236 ↩ 19
岸榕 2024-06-08 通解是基础解系线性组合: 组成了一个空间 若有s个基础解系。 则空间是s维。 即r=s。 矩阵A是一个变换。若其秩为r，则会将一个n维空间变成r维。 这个变化中是被压缩的向量消失了，总共消失了n-r个。这些向量组成了零空间 维度为n-r。 什么向量会被A变换变成0? AX=0所有解向量。 解向量构成了解空间，也就是零空间。秩是n-r。解空间的向量就是基础解系。所以基础解系s=n-r ♥ 219 ↩ 13
无那星榆 2022-10-24 实际上这个也就说明了一点，系数矩阵行空间的基向量是基础解系的基础解系，因为系数矩阵代表的行空间和解空间垂直， 这也就是那种已知基础解系求系数矩阵的题目的本质，当然如果基础解系是两个还是三维的，那我们直接做外积即可求出系数矩阵 ♥ 66 ↩ 9
人寻草木间 2024-08-07 X是n维的，r是A的秩也是A的维度，A表示将n维的X给拍成r维，而Ax＝0中的x表示在n维X被拍成r维的A的过程中哪些纬度被拍成0维，显然从n维到r维其中有n-r维被拍成了0维，n-r个纬度构成解 ♥ 37 ↩ 3
奇思妙想的Jsir 2023-09-20 首先要理解基础解系的个数代表了x的（一个解是n维列向量）列向量中自由变动的的未知数的个数，A的秩对x起到约束作用，也就是可组成的线性方程组的个数，r(A)个方程组约束了x中r(A)个未知数，未约束的自由未知数就是n-r(A)个 ♥ 23 ↩ 3
卵言牢猫 2024-11-21 不知道我理解的对不对： A的秩代表它实际是一个几维空间，AX=0的X即是求与A空间垂直（或无关）的剩余空间，这个剩余空间维数则是看A可以表示的空间维数，减去A自身存在的维数，剩余的就是X即与A无关空间的维数。 以三维空间举例，比如A有三列，相应的X也有匹配的（X1，X2，X3）我们看做（x,y,z），其可以表示一个三维空间，但经过行变化我们发现A实际内容只有XoY面有，即A的秩为2，则这个三维空间剩下一维即Z轴上所有向量，都是与A实际空间相垂直的，即Z向量与A所有向量正交，AZ=0，则这个Z轴上所有向量都可以作为X。 ♥ 19 ↩ 6
宅男5678 2022-11-10 当一个m×n矩阵A作用在一个n维几何体α上时，α会变成一个r维几何体β，β存在于矩阵A的列空间中，它的维度r叫做矩阵A的秩。n维空间中矩阵A的列向量无法张成的n-r维空间称为矩阵A的零空间，α存在于零空间的部分经过矩阵A的变换后会压缩为零（Ax=0)，这就是α转变为β后降低n-r维的原因。 ♥ 9
宿于青山远 2025-11-15 A可以理解成是一个纬度变换的过程，它的秩为r，它可以将n维的东西变成r维。所以用A乘以x，就相当于把这个过程施加到这个x上 所以，A这个过程总共是使一个东西降了n-r维，所以对于Ax=0而言，对某个纬度的X空间施加了A这个过程，使得X变成了0维，又因为A过程可以使一个空间降n-r维，所以X空间原本的纬度就是n-r维，这也是X空间的秩，也就是X的基础解系[微笑][微笑](个人理解) ♥ 8 ↩ 6
vvwvv123 2024-08-04 哥，我不知道我这样理解对不对：n就是n个向量（比如7），r则是支棱起来这个维度的（比如5纬度的向量个数，则n-r则是躺平在5维空间里的向量的个数，那这2个向量都是可由这五条基向量线性表示的，而AX=a1x1+a2x2+...+a7x7=0，就是A这个向量组（即这个五维空间）乘以系数x，使五维空间变成0维空间，正好两个躺平向量，可以抵消这个五维空间（因为这两个躺平向量就是由那5个基向量线性表示出来的，反过来也可以），即这两个向量组成的平面就是解 ♥ 7
瞬零star 2023-08-10 Ax＝0，将x表示为一个n维列向量，将A表示为n列n维列向量（β₁,...βₙ)，当R(A)＝r时，说明有n-r列零向量，假设矩阵A中i列以后的βᵢ（i＞r)全为零向量(n-r个），则由βᵢxᵢ＝0可以推出有n-r个xᵢ线性无关，所以Ax＝0的线性无关解有n-r个。 ♥ 5
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方程组未知数个数就是A所处在维度数，而A的秩就是A的维度(比如3维世界的一张纸，未知数为3，秩为2)，而AX=0求是与A垂直的向量，假如A是1维，处在3维空间，那么与它垂直的是一个平面内的向量，这个平面里的向量用i和j两个就可以全部表示，也就是基础解系个数为2(3-1），以此类推到n维
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首相我们要知道系数矩阵的秩实际上是独立方程组的个数（其他的n-r个方程可以由n个方程线性表示），我们知道，有r个独立的方程，但是却又有x1～xn共n个未知数，那么就意味着存在n-r个自由变量，我们称其为没有约束的解，那么这些解就张成了n-r维的空间，那么刚好可以由n-r个线性无关的向量来表示这个n-r维空间，使得方程成立，那么这n-r个线性无关的解就是所谓的基础解系。
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通解是基础解系线性组合: 组成了一个空间 若有s个基础解系。 则空间是s维。 即r=s。 矩阵A是一个变换。若其秩为r，则会将一个n维空间变成r维。 这个变化中是被压缩的向量消失了，总共消失了n-r个。这些向量组成了零空间 维度为n-r。 什么向量会被A变换变成0? AX=0所有解向量。 解向量构成了解空间，也就是零空间。秩是n-r。解空间的向量就是基础解系。所以基础解系s=n-r
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实际上这个也就说明了一点，系数矩阵行空间的基向量是基础解系的基础解系，因为系数矩阵代表的行空间和解空间垂直， 这也就是那种已知基础解系求系数矩阵的题目的本质，当然如果基础解系是两个还是三维的，那我们直接做外积即可求出系数矩阵
♥ 66 ↩ 9
X是n维的，r是A的秩也是A的维度，A表示将n维的X给拍成r维，而Ax＝0中的x表示在n维X被拍成r维的A的过程中哪些纬度被拍成0维，显然从n维到r维其中有n-r维被拍成了0维，n-r个纬度构成解
♥ 37 ↩ 3
崔老师深得吉尔伯特老爷子的真传啊 行图像和列图像是老爷子自己的说法吧 不过只要是把好东西让更多人都正确接受的、讲的通俗易懂的就是好老师！
♥ 30 ↩ 2
AX中的A代表矩阵的空间变换，将X，n维空间图形变到和A同维的空间图形，其中减少了n➖r维，这些维度的向量被拍到0，0就是齐次方程组的解。
♥ 28 ↩ 2
Ax=0的A是将x变换成A能表示的维度r的样子，故x另外n-r维被压至0点。而这n-r维的向量乘以A就等于0；故n-r维就是解空间，也就是零空间。
♥ 25 ↩ 8
我理解n维方程组的极大线性无关组和他的基础解系互补了
♥ 23 ↩ 7
首先要理解基础解系的个数代表了x的（一个解是n维列向量）列向量中自由变动的的未知数的个数，A的秩对x起到约束作用，也就是可组成的线性方程组的个数，r(A)个方程组约束了x中r(A)个未知数，未约束的自由未知数就是n-r(A)个
♥ 23 ↩ 3
对数二很不友好
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不知道我理解的对不对： A的秩代表它实际是一个几维空间，AX=0的X即是求与A空间垂直（或无关）的剩余空间，这个剩余空间维数则是看A可以表示的空间维数，减去A自身存在的维数，剩余的就是X即与A无关空间的维数。 以三维空间举例，比如A有三列，相应的X也有匹配的（X1，X2，X3）我们看做（x,y,z），其可以表示一个三维空间，但经过行变化我们发现A实际内容只有XoY面有，即A的秩为2，则这个三维空间剩下一维即Z轴上所有向量，都是与A实际空间相垂直的，即Z向量与A所有向量正交，AZ=0，则这个Z轴上所有向量都可以作为X。
♥ 19 ↩ 6
崔崔老师我今天刚在想这个问题你就发视频了呜呜呜🥹
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当一个m×n矩阵A作用在一个n维几何体α上时，α会变成一个r维几何体β，β存在于矩阵A的列空间中，它的维度r叫做矩阵A的秩。n维空间中矩阵A的列向量无法张成的n-r维空间称为矩阵A的零空间，α存在于零空间的部分经过矩阵A的变换后会压缩为零（Ax=0)，这就是α转变为β后降低n-r维的原因。
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每次想到问题总能发现小崔讲过了[Cat2_EatDonut]世界线收束了属于
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A可以理解成是一个纬度变换的过程，它的秩为r，它可以将n维的东西变成r维。所以用A乘以x，就相当于把这个过程施加到这个x上 所以，A这个过程总共是使一个东西降了n-r维，所以对于Ax=0而言，对某个纬度的X空间施加了A这个过程，使得X变成了0维，又因为A过程可以使一个空间降n-r维，所以X空间原本的纬度就是n-r维，这也是X空间的秩，也就是X的基础解系[微笑][微笑](个人理解)
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哥，我不知道我这样理解对不对：n就是n个向量（比如7），r则是支棱起来这个维度的（比如5纬度的向量个数，则n-r则是躺平在5维空间里的向量的个数，那这2个向量都是可由这五条基向量线性表示的，而AX=a1x1+a2x2+...+a7x7=0，就是A这个向量组（即这个五维空间）乘以系数x，使五维空间变成0维空间，正好两个躺平向量，可以抵消这个五维空间（因为这两个躺平向量就是由那5个基向量线性表示出来的，反过来也可以），即这两个向量组成的平面就是解
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我之前总以为基础解系就是最大无关组 结果导致我理解全偏了[大哭][大哭]
♥ 7 ↩ 6
每次有不懂的我就直接打开小崔老师的主页搜，每次都能搜到，小崔老师真的是很贴心啊[给心心][给心心]
♥ 7 ↩ 1
Ax＝0，将x表示为一个n维列向量，将A表示为n列n维列向量（β₁,...βₙ)，当R(A)＝r时，说明有n-r列零向量，假设矩阵A中i列以后的βᵢ（i＞r)全为零向量(n-r个），则由βᵢxᵢ＝0可以推出有n-r个xᵢ线性无关，所以Ax＝0的线性无关解有n-r个。
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