同一个事件竟有三个概率？非也，它其实有无穷多个概率

事实上，互联网上的大多数论战都是因为双方对事物的定义不一样导致的，口水仗能打半天[喜极而泣]

♥ 797 ↩ 37

弦这个玩意就是无解，他有且只有两个属性还互相映射，一个是弦长，一个是对应的圆心角，θ=2arcsin（l/2r），映射关系里套了个arcsin函数导致只要一个是均匀分布另外一个就必定不是均匀分布

♥ 447 ↩ 7

老师啥时候讲讲【n，2n】间必然存在素数[doge]，另外[热词系列_三连]

♥ 210 ↩ 15

说白了还是在“弦”构成的空间中，某些拓扑结构（如距离）定义不良，导致“随机”定义不唯一

♥ 90

想到个之前没看懂的的数学问题，n个鸭子随机撒在圆上，同时处于同一个半圆的概率有多大。反正我圆上算概率的问题一直搞不明白，推导过程也搞是不明白为什么按半径/弦/圆周算概率[笑哭]

♥ 67 ↩ 5

如果我在平面上画一个半径为1的圆，再随手甩一根长度大于2的细棒上去，当细棒和圆有2个交点时测量弦长并加入统计，当甩的次数足够多时， 问题一：是否可以认为实测弦长大于根号3的次数和所有圆棒2点相交次数的比例就是所求概率？ 问题二：这种采样方式，得到的概率会是多少？

♥ 56 ↩ 11

请输入文本[辣眼睛]

♥ 68 ↩ 5

同心圆连续族描述取法太妙了，感觉up完美回答了用户的某一感觉，就是什么呢 就是那个分布空间虽然说明了，取样无穷多，但是它让挑剔的观众会觉得其他定义方式是＂奇异＂的，似乎仍然有理由默认一个平滑的显然的方式来算 于是up把最后的挑剔与批判挣扎也搞定了，那个同心圆告诉你，哪怕以为的＂平凡＂的定义方式，也是不可数连续无穷的 而且非常成功的是，它是贝特朗悖论问题的规约，也解决了观众直觉与思维一致性

♥ 46

几何学中弦的定义是“一条曲线上两点连成的线段”，所以只有方法1，在圆周上随机取两点才是定义上的随机取弦。 比如问题：在边长为1的正方形曲线上任取一根弦长度大于1的概率，方法2和3都是不合适的。

♥ 40 ↩ 35

概率论的每一次课程推进都是在和直觉作斗争的结果[笑哭]

♥ 30

(｀・ω・´) 你认为的随机不一定均匀。举个最简单的例子：【平面上随机取一个点】。很容易想到，把点的（x，y）坐标取随机值。 然而这真的均匀吗？x，y是在平面直角坐标系下定义出来的。单纯指定xy的值取的点，会在横竖方向上更“稠密”，45度斜向上更“稀疏”。 拿这种各方向上疏密程度不同的随机点去解其他的图形问题，就会出现各种问题。

♥ 37 ↩ 1

这个悖论的核心是角度、长度、面积不能同时均匀，角度的均匀会影响长度的均匀，好比“在男性中随机抽一人”和“在中国人中随机抽一人”抽到你的概率完全不同。悖论中第一种情况是（弦与正三角形的一条边夹角的）角度均匀，第二种情况是（半径的）长度均匀，研究的对象都不同结果自然不一样了。另外看到评论区说可以通过实验（投木棍）的方式算概率，这样做无法改变有多种计算方式的事实，因为投木棍相当于让斜角和中点都完全随机，这是不可行的，因为你想让弦斜角真随机，中点就不可能均匀，同样的你想让中点位置真随机，斜角就不可能均匀。于是最后会发现实验出来概率会是三分之一与二分之一中的一个。

♥ 31

这个问题很好理解啊，就是人们对于“均匀”其实并没有一个共识，因此答案就不唯一，所以争论这种问题本质上并不属于数学的范畴。 在现实里，特定的物理采样方法，对应了具体的概率分布。所以给人们造成一种“答案是唯一的”的幻觉。数学作为一个并不做出任何本体论保证的学科，没有义务回答概率的本质是什么，只回答概率在数量关系方面的计算方法和性质。

♥ 23 ↩ 2

名字叫做悖论，可实际上就相当于问题的前提条件描述不清啊

♥ 19

喵的，封面看成舞萌了

♥ 20 ↩ 4

关于这个悖论我之前看到过一个视频，说既然是圆内均匀取弦，那么取了大量的弦之后，这些弦在圆内任意一个小圆里也是均匀分布，正如在空间A里均匀取大量点之后，在A的任意子空间中的点也是均匀分布一样。 根据上面的思考我想出了这么一个问题：在圆内取N个弦之后，在圆内取一半径为ε、圆心与大圆圆心距离为d的小圆，设m(N,ε,d)为小圆内弦长>ε√3的弦数量，n(N,ε,d)为与小圆相交的弦数量，f(ε,d)为频率m(N,ε,d)/n(N,ε,d)（N→∞），g(ε,d)为弦密度n(N,ε,d)/n(N,ε,0)（N→∞），求按照不同方法取弦时f(ε,d)和g(ε,d)的值。

♥ 16 ↩ 1

贝特朗悖论的本质是古典概率论定义的模糊性和局限性。比如我们假设圆的半径x在（a，b）内遵循均匀分布，那圆的面积πx²则在（a，b）内不遵循均匀分布

♥ 14 ↩ 1

换个说法 你买彩票中的概率是1/2，因为只有中和不中两个结果，那当然是1/2啦 实际上这就是参考系不同导致的这种结果，是的，概率这个东西也是有参考系的

♥ 13 ↩ 4

采取第二个概率的办法，先随机选取一个半径，但是在这条半径上随机选取点的时候，并不直接在这条半径上选点。 可以让这个点到圆心的距离满足：r=x^a，其中a是一个给定的正的实数，而x是在【0,1】内“均匀”地随机取值（这里的“均匀”就类似于视频中第二个概率里在半径上选取点的那种“均匀”）。 因为x可以从0取到1，因此对于任意的a，点到圆心的距离r也可以从0取到1，也就是这条半径上所有的点都可以取到，再过这个点做垂直于半径的弦，这样以来我们也取完了所有的弦。 接下来就是和第二种概率一样，比sqrt3大的弦需要让这个点到圆心的距离小于1/2，即r=x^a＜1/2，也就是x＜(1/2)^(1/a) 前面我们说了，x是“均匀”地选取的。在【0,1】上“均匀”地随机取值，比(1/2)^(1/a)小的概率当然就是(1/2)^(1/a) 所以我们也就得到了这样选取弦的情况下，弦长大于sqrt3的概率就是(1/2)^(1/a) 对不同的a，我们可以得到不同的概率，a=1的时候就是“均匀”的在半径上选点，和第二个概率的情况等价，a=1/2的时候可以得到第三个概率1/4，随着不同的a的选取，这个概率可以是(0,1)的任意值[doge]

♥ 9 ↩ 3