对合是什么？竟然一句话就能证明费马平方和定理？

合集 · 古典数学 (16)

Description

本视频介绍了有限集上对合的基本性质，以及使用对合便捷地证明费马平方和定理的两个证明方法。
第一证明是著名的“一句话证明”，发表于1990年；
第二个证明我个人觉得更简洁，发表于2016年，是一个比较新的证明。

Comments

Running_L 2025-08-22

群在集合上的作用，用在证明里就像魔法

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-昵の称- 2025-08-22

以前只看过纯数论的证明用反证法先证三个引理分别矛盾费马小定理威尔逊定理抽屉原理也很精彩这个视频倒是给了个代数的视角[doge]

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住着的苹果味儿砖块 2025-08-22

诶，你讲这个对合我就想起来了。这是我们初等数论讲过的，负一是p的二次剩余，把-1移项看成i^2用平方差公式，得到p在高斯整环上面是可约的，而且因为是实数只能是两个模平方为p的共轭复数的乘积。[doge][doge][doge]这样应该就做出来了。

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JeanPaulSartre_M 2025-08-23

这是人类能想到的？我怀疑是某种更本质的insight启发的

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bili_22877031852 2025-08-23

之前在proofs from the book里看到这个证明时人傻了

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Cro_Marmot 2025-08-23

第一个其实不需要那么多数学公式，甚至不一定要知道对合的知识, 其实就是纯图形证明 p = x^2+4yz 就是拆成一个中间的正方形，和4个环绕的矩形，如果能存在y=z 则表示可以拆分成 x^2+(2y)^2 考虑所有(x,y,z) x相同 y!=z时，总是能成对出现，所以如果找不到y=z 则总个数是偶数，逆否命题，如果总个数是奇数则存在y=z 另一个角度考虑 6:25 这种图形划分, 不要考虑长度超不超出什么，只需要注意到长方形和正方形的边的长度 1. 如果相等则是正方形边长的倍数这种十字形（视频里缺少没有这个关键图形）只能边长=1，且是无法转换的(6:25这种）， 2. 而当长度不等时，这个转换是唯一且对称的，所以总方案数为奇数。

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