全网独家！证明钱珀瑙恩常数是超越数

合集 · 古典数学 (16)

Description

本视频将介绍钱珀瑙恩常数是超越数的证明方法，以及Mahler定理的一个(可能的)证明方法。
钱珀瑙恩常数是所有正整数以十进制形式依次排列在小数点后面所形成的实数：
0.12345678910111213141516181719202122……
这个数最早在1937年被Kurt Mahler证明为超越数。

Mahler定理则是更强的一个论断：对于一个多项式f(x)，如果它在任意正整数n上取值都是非负整数，换言之f(n)是一个自然数，那么将各个f(n)的十进制形式依次排列在小数点后面，得到这个数：
a=0.[f(1)][f(2)][f(3)][f(4)]……
其中方括号表示取十进制形式。那么，a是一个超越数。

当f(x)=x时，a会给出钱珀瑙恩常数。

Comments

我是不是无理数 2025-05-02

大佬，大佬，您可以证明exp(cos(1))是超越数吗？我想了好久都没有思路[打call][打call]

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1048576_ 2025-05-03

我们构造分式逼近实际上相当于计算了生成函数 Sum f(k) X^k 的封闭形式再带入 10^-k。知乎上曾经火过问题 10/89 的十进制表示和 Fibonacci 的并非巧合问题。这说明 f 可以不只是正值多项式，而是任意一个生成函数为分式的函数？

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史蒂芬·霍金 2025-05-03

别的不说，看到这个标题，我感觉在二进制中也可以构造出类似的数，而且应该也是超越数吧，甚至说对于任何一个进制而言，可能都有这个规律成立。注意，我只是说可能。比如二进制中构造出来的那就是，0.011011100101110111...就相当于是二进制中的那些数字按顺序摆放到了这里面[吃瓜][doge][doge]

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于小馍 2025-05-02

Up主知道从哪里可以看到数学论文吗？比如怀尔斯的那篇论文。好多网站都要登录，有没有免费的网站？或者说有没有收录这个论文的书？

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正则zyh 2025-05-03

我有一个问题ln- 1减1/2减1/3减到1/n，这东西的极限是不是超越数？[doge]

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Mushroom1964 2025-05-02

😧看到Mahler第一反应是那个著名作曲家马勒。

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kszm-beta 2025-05-07

Up主可以做希尔伯特是怎么样证明对于每个正整数k,g(k)(g(k)为华林问题中的g(k))都是存在的吗

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繁陨-望魇 2025-05-02

感谢助眠😴

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马里奥神操作 2025-05-04

我找到了SCHNEIDER的那个定理的文献, 那个文献实际上不是SCHNEIDER写的, SCHNEIDER在把证明思路发给KURT MAHLER后, KURT MAHLER 做了一些推广. 其中一个推广就是让逼近的有理数不需要是最简约分状态, 并且可以应用在「有限代数数系统」里. 这个有限代数数系统我也不知道是什么东西, 看起来好像就是有限多个代数数. 即使是AI翻译德语, 翻译后的结果看起来也太蛋疼, 我就硬挺着看完了钱珀瑙恩数超越性但非刘维尔的证明, KURT MAHLER 写的那俩文章我实在不想细看. 我粗略看了看KURT MAHLER的那俩文章, 这俩文章还关联着「Thue-Siegel 定理在 Siegel 强化版本」, 这东西就是个大坑. https://carmamaths.org/resources/mahler/docs/041.pdf https://carmamaths.org/resources/mahler/docs/042.pdf

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