另类三体：如果月球轨道换个方向，就会撞上地球

合集 · 解读科技问题 (79)

Description
实际上，利多夫的问题比这个简单描述要普遍得多，被称为圆形限制性三体问题（Circular Restricted Three Body Problem，简称CR3BP）。他用了很多数学技术（久期近似的双周期平均）以及当时刚出现不久的计算机，得到了相当普适的结果，后来被称为Kozai-Lidov 机制。Kozai是日本科学家古在由秀（Yoshihide Kozai，1928–2018），他当时在美国史密斯天文台工作，知道Lidov的工作，随后也发表了自己的工作。
	这个问题如果用解微分方程的办法来处理是很困难的，列出适当的微分方程就不容易，而且最终也要求助于数值解法。但幸运的是，现在随便一个台式机都比当年的超级计算机强大得多，还有很多科学计算软件帮助我们做数值运算。下面我们用一个简单的模型以及Scilab给出的计算结果，来说明问题。
	在日地月系统中，因为太阳质量 >> 地球质量 >> 月球质量，可以简单认为，太阳不受地球和月球的影响，地球不受月球的影响。所以只需要考虑月球绕地球的转动，包括地月引力的作用以及日月引力（扣除月球绕太阳公转所需的向心力部分以后）的残余影响。地球的公转决定了一个平面也就是黄道面，选择月球的初始速度（大小和方向），可以确定其初始的轨道面以及相对于黄道面的夹角。下面只考虑这个夹角为0度和90度的情况。选择月球的初始轨道为一个偏心率百分之几的椭圆，类似于真实世界的月球。
	首先来看0度的情况：人生代代无穷已，江月年年只相似。月球轨道保持在黄道面内，是进动的椭圆，因为所有的力都在这个平面内，太阳的扰动引起了进动。左上图给出月地距离随时间的变化（右上图是局部的放大图），显然它的变化不大。这里的1指的是真实的地月距离38万公里，从图中可以看出，对它的偏差从来没有超过5%。相邻两个近地点的时间，就是一个月。200多个月的轨道叠在一起，看着就像一个圆（左下）。在50 - 60个月之间选了几个月的轨道，叠在一起仍然像一个圆（右下）。
	再来看90度的情况：月亮撞地球，天地大劫难。左上图给出地月距离随时间的变化（右上图是局部的放大图），可以看到它的变化幅度非常大。在50多个月的时间里，就从正常距离变到这个值的1 - 2%左右，即3800公里至7600公里。请注意，地球半径是6400公里，月球半径是1700公里，两者加起来是8100公里，所以7600公里的地月距离意味着月球已经撞上了地球！
	为什么计算在地月相撞之后还没停止呢？因为它用的是质点模型，即认为月球和地球都只是一个点。所以在距离达到极小之后，居然又回去了，最大接近正常值的两倍。但这都不现实了，在第一次相撞之后，地月系统就会毁灭。
	所以结论是，把黄道面与白道面的夹角从0度变成90度，就会在5年内导致世界毁灭，我们有幸观测到比恐龙在6500万年前看到的更大的焰火。不过这只是数值计算的结果，更深入的问题是，为什么会有这样的结果呢？
	我们可以画一个比例有点夸张的三体系统示意图来说明。
	地球（黑点）绕着太阳（红点）的公转轨道是圆形的细黑线，月球绕地球公转的轨道是椭圆的粗黑线，太阳对月球的微扰力（即扣除了万有引力中让月球绕太阳公转的那部分贡献）的方向在地球公转轨道即细黑线以内是朝向太阳的，在细黑线以外是远离太阳的。这个微扰让月球轨道变形，并发生进动。
	在0度的情况，月球轨道与地球轨道在同一个平面内，地球绕太阳的转动和月球轨道的进动使得这个椭圆的变形不会越来越大。太阳微扰导致的变形是随时间变化地揉搓这个椭圆，整体效果是让月球轨道大致保持初始的形状。
	在90度的情况，月球轨道垂直于地球轨道，地球绕太阳的转动只能改变太阳微扰在月球轨道上的投影大小，但是方向不变。变形的效果就可以累加起来，让这个轨道越来越扁，最终撞到地球上。
	当然，这个解释还很粗糙。比如说，没有考虑我们刚才的计算模型里地球坐标系是非惯性系（因为它绕着太阳转动）。这个三体系统还有很复杂的行为，但这就超出本文的范围了。
	再让我们回到牛顿的登山宝训。如果地球是完美的球体，周围没有大气的阻碍，只考虑月球的影响，那么，牛顿在山顶高速扔出去的那个石子，真的会变成一颗人造卫星，永远绕着地球转动吗？ 
	现在你明白思路了吧？现在的石子、月球、地球就好比刚才的月球、地球、太阳。
	所以答案是：这取决于牛顿朝哪个方向扔石子！如果朝东西方向扔，它就会一直转下去。而如果朝南北方向扔，它就会在不长的时间内，撞到大地母亲的怀抱里！
	最后，你也许想问，这个效应有多普遍？答案是相当普遍，这种圆形限制性三体问题（CR3BP）在许多场合都会出现。