三门问题：我到河北省来？！

合集 · 解读科技问题 (79)

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最近，我的科大师弟、香港科技大学物理系副教授王一博士也跟朋友们研究了一番三门问题。他一开始想错了，回去仔细想了一下才明白。不但是想明白了这个问题本身，而且觉得更有意义的是用这道题作例子，和大家探讨如何想清楚一个问题，而不只是找到一个巧妙的解法。于是，他在我的科普平台“风云之声”写了一篇文章《三门问题、解题思维与直觉》。下面，我就来基于这篇文章，向大家介绍一下三门问题以及好几种思维的方法。
	三门问题起源于一个电视节目，主持人叫蒙蒂·霍尔，所以这个问题也被称为蒙蒂·霍尔问题。这个节目中设置了三扇门，其中一扇门背后有奖品，另两扇门背后是空的。主持人知道哪扇门背后有奖品，但是嘉宾不知道。如果嘉宾选中了有奖品的门，最后就会中奖。节目的步骤如下：
	首先，嘉宾从三扇门中选择一扇。
	然后，主持人从另外两扇门中打开一扇空的门，再问嘉宾，要不要改变自己的选择，改选剩下的那扇关着的门。
	请问，现在如果你是嘉宾，你要不要改变自己的选择？
	为了防止抬杠，我们先来做几点说明：
	一、规则是事先定好的，不是主持人看到嘉宾选对了门，临时“忽悠”嘉宾改变选择，嘉宾也了解全套规则。
	二、主持人不能选择嘉宾已选的那扇门，否则就没法问了，也不能选择有奖的那扇门，提前泄露奖品。也就是说，主持人开的一定是嘉宾没选的两扇门中一扇没有奖品的。当然，如果两扇门都没有奖品，他可以随便开一扇。
	三、嘉宾可以看到主持人打开的是哪扇门，以及这扇门后面确实是空的。
	四、在本来的电视节目中，“有奖”对应于奖励一辆车，“空的”对应于奖励一只山羊。不过“有奖”和“空”比“汽车”和“山羊”的价值高低更加鲜明，所以我们在这里把问题简化成“有奖”和“没奖”，减少一点对思考的干扰。
	了解了题目之后，王一提出了好几种解法，从易到难分别有糊弄解法、窍门解法、暴力解法等等，最后一直讨论到思维的哲学。下面，我们就来依次介绍。
	首先是糊弄解法。当你时间有限来不及思考时，你至少可以这样想：不管改变选择是不是占便宜，但它显然不吃亏（除了可能会破坏自己坚定不移的人设，不过这不在本题的讨论范围内）。所以不改白不改，就改一下选择吧。
	这种解法在时间有限时，是最有效的，但它并没有帮助我们想清楚问题。如果我们问得再细致一点：如果嘉宾选择换门，获奖概率是否会增加？或者更明确地要求把获奖概率算出来，那么糊弄解法就无法蒙混过关了。这就引出了下一个层次的思维：窍门解法。
	窍门解法一：概率交换。主持人开了一扇空门后，在剩下的两扇门中如果选择换门，那么它们获奖和不获奖的概率会对调。已知不换门时获奖概率是1/3，那么换门后，获奖概率就会变成2/3。所以结论是样，要换门。
	窍门解法二：把门搬走。假想嘉宾选择一扇门，这扇门就是属于嘉宾的，形象地想象成把嘉宾选择的门放在嘉宾身后，另外两扇门放在主持人身后。现在假设主持人不打开自己身后任何一扇门，而是问嘉宾：你愿意用你身后的一扇门来换我身后的两扇门吗？
	那么嘉宾一定愿意。因为自己身后一扇门的中奖概率是1/3，而主持人身后两扇门的中奖概率是2/3。
	再仔细想想，主持人选择打开自己身后的一扇门，或者不打开，对嘉宾的获奖概率其实都没有影响。这是因为主持人身后至少有一扇空门，主持人又只能打开一扇空门，所以打开空门并没有告诉嘉宾任何额外信息。所以，在原题的情况下，嘉宾同意交换，就相当于用自己的一扇门换了主持人的两扇门，获奖概率会加倍。
	好，这些就是窍门解法。窍门解法的优点是可以让人迅速解决问题，或者说“秒懂”。并且窍门解法对思维是很好的锻炼，因为窍门看多了，往往在别的问题上也能“灵机一动”，想出聪明的想法。
	但是，窍门解法的迁移性比较弱。也就是说，如果你遇到另一个条件稍有改变的问题，你就又不知道怎么办了。有没有更“省心”的、普适的方法来解决问题呢？这就是下一个层次的思维：暴力解法，也就是所谓“大巧若拙”，“力大砖飞”，“大力出奇迹”。
……
	再下一步，王一查阅了网上一些对三门问题的解释，发现是五花八门。有些作者会引入一些更深入的概念，例如概率的频率解释和贝叶斯解释之争，主观概率，博弈论，甚至……量子力学？！
	例如有这么一篇神奇的文章《论三门问题对双缝干涉实验的启示》，发在《辽宁师专学报（自然科学版）》。更神奇的是它的作者单位：河北省沽源监狱，七监区。——我到河北省来！
	当然，了解这些更深入的概念是有好处的。不过把这些概念与三门问题混杂起来，对理解三门问题本身恐怕并没有益处，而是用一个难理解的概念，人为增加了理解另一个问题的难度。
	如果我们把科学哲学中的奥卡姆剃刀（即“如无必要，勿增实体”）稍加修改，作为一个把问题解释清楚的建议，那就是：“如无必要，勿增高端概念”。