为什么在圆周率中会出现26390和你的生日？

合集 · 解读科技问题 (79)

Description
如果你知道圆周率是个超越数，即它不是任何整系数多项式的根，那么你的知识水平超过了99.9%的人。由此决定，化圆为方不可能用尺规作图完成。任何还在研究这个问题或者三等分角、立方倍积等经典的不可能问题的人，都纯粹是在浪费时间。
	如果你还知道圆周率下面的性质，那么你的知识水平至少超过了99.99%的人。
	最近，中国科学技术大学上海研究院墨子沙龙邀请中国科学院数学与系统科学研究院袁亚湘院士做了一场报告《数学漫谈》。袁亚湘院士是中国数学会前理事长，他这场报告一开头就讲了不少π的有趣性质。
	有很多意想不到的公式得到π。例如：
	1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...
	你猜，这样无穷下去等于多少？答案是π/4。
	作为一种数值方法，这样可以计算π，但缺点是收敛得太慢。你可以用下面这种快得多的方法：
	1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...
	你猜，这个无穷级数又等于多少？答案是π^2/6。
	这两个公式都还比较简单，至少我在上大学的时候都学过。如果你能证出它们，那么你的数学至少是大学水平。但下面这个公式，就有点天外飞仙了：
	π = Sigma(k = 0, infinity) (1/16^k) * [4/(8k+1) - 2/(8k + 4) - 1/(8k +5) - 1/(8k +6)]
	我不知道这个公式是怎么来的，但至少它的形式还比较简单。如果我努力钻研一番，也许是能搞明白的。而且很容易就能看出，这个公式收敛得很快，因为每一项前面都有个除以16的k次方，随着k的增加它会迅速减小。
	令人震惊的是，还有下面这种完全神来之笔的公式：
	1/π = sqrt(8) / 9801 Sigma(n = 0, infinity) [(4n)!/(n!)^4] * [(26390n + 1103) / 396^(4n)]
	
 
	这个公式来自印度传奇数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887 — 1920）。他的特点是经常提出令人目瞪口呆的恒等式，这就是他的代表作之一。为什么计算圆周率会出现26390这么大的数，我完全看不出原因！希望有专家能给我和公众指点一番。
	这个公式收敛得更快，每计算一项可以得到8位的十进制数字。1985年，有人用它把π计算到了1750万位。
	可是这还没完。袁亚湘举的最后一个公式是：
	1/π =1/ [53360 sqrt(640320)] Sigma(n = 0, infinity) (-1)^n * {(6n)!/[(n!)^3 (3n)!] } * [(545140134n + 13591409) / 640320^(3n)]
	有了前面的铺垫，我虽然还是会对这公式的复杂程度感到震惊，但很快就可以明白，它跟拉马努金公式是基于相同的原理，因为它们的结构如出一辙。只要能理解拉马努金公式，肯定也能理解这个更复杂的，只是下多少功夫的问题。仔细看，虽然这里最大的数是545140134这个九位数，但最特别的是640320，它出现了两次，分别在连加前面的根号下和连加中的3n次方那一项。由此可见，这里肯定有某种诀窍。
	事实上，搜索一下就可以知道，这是大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟在1989年提出的，正是对拉马努金公式的改进。用这个公式，计算一项就可以得到15位的十进制数字。1994年，丘德诺夫斯基兄弟用这个公式把π计算到了40亿4400万位。袁亚湘告诉大家，最近π算到了105万亿位。
	紧接着，袁亚湘又说了圆周率的一个性质。你如果明白他说的是啥，你的知识水平就超过了99.999%的人。他的原文是：
	π有一个有待证明的有趣性质：把身份证号码输进去，在π里能找到，比如19210701是党的生日，精确在4400多万位就能找到这个数串。同样道理，输入共和国的生日19491001也能找到，但稍微难一点，在8200多万位。所以我经常开玩笑：π告诉我们，先有共产党后有新中国。当然一般来说，数串越长越难找。如果输入1314，很快就能在小数点后3902位找到，但如果在1314前面加520，就难多了，在200多万位才能找到。仿佛告诉我们：一生一世很容易，但要爱一个人一生一世还是挺难的。
	你看明白了吗？其实袁亚湘说的是这样一个性质：在圆周率的小数表示中，包含所有可能的自然数序列。请注意，这个性质还没有证明，也就是说π是不是真的包含所有的自然数序列，我们是不知道的。现在能说的，只是我们尝试了很多序列都找到了，而且到目前为止没找到反例。