【漫士】这是你学明白组合数学最好的机会

最专业对口的一集，我来补充一些内容吧 1.双射证明是组合数学中最喜欢的方式之一，它的结果往往比纯代数证明更加优雅，更具有实用性，因为它不仅仅告诉你两个式子结果相等，更告诉你它们是通过什么方式相等的（事实上大部分组合论文在给出代数证明后都会问是否有双射证明），由此衍生出对组合统计量等性质的研究。以视频中的路径和水果顺序为例，你可以问某条路径碰到对角线几次，如果是代数证明只能告诉你结果，但双射证明你就会发现，上面路径的次数与前2n个水果中恰好有n个苹果n个橘子的n的个数是一样的。由此你可以依照“碰到对角线的次数”对路径分类，这就是一种细化，可以进一步研究。 2.母函数本质是一种形式幂级数，你可以把它想象成用一个梯子把无穷个数串起来，我们不考虑它的收敛性，因为最终我们关注的是每一项的系数而非x的值，收敛与否不影响形式上操作的合法性。母函数的好处在于我们把离散的数值变成了连续的函数，从而可以利用一些分析的方法研究其性质，同时保持了离散的一些操作，例如乘x（移位），求导（乘n）等，最终可以用解（微分）方程，泰勒展开的方式倒推出每一项（不过大部分时候求得母函数就是结束） 3.这个视频内容确实非常基础，基本上就是高中内容加母函数，如今的组合数学会更多与代数，数论结合，包括q-模拟，同余等，不过纯组合数学依旧是非常吃天赋的一个方向（attention is all you need） 4.如果你厌倦了代数冗长的计算，分析抽象的函数，那么就来玩组合吧，只需要亿点点注意力，说不定下一个恒等式或者同余式就是以你命名的[doge_金箍]

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杨辉三角 乘法原理 加法原理 组合恒等式 卢卡斯定理 卡特兰数…

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之前辅导六年级表妹作业时有道题：7枚反面朝上的硬币，每次选择其中两枚翻转，能否使7枚全部正面朝上。我解释为奇数次翻转状态无法被偶数次操作改变，但这解释给一个小孩真的很难。 后来又看到nim问题，这类问题本质上应该是将复杂的事件归并为几种简单的状态，将复杂操作视作简单状态间的转化。（没学过组合数学的普通大学生的一点想法）

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你怎么知道我刚教了五年级小孩标数字的方法[藏狐][藏狐]

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标题是不是有点太大了？不管是极值组合、加性组合还是代数组合，组合数学中是有很多很现代很深入的东西的，视频的内容更加接近于高中竞赛里的组合吧，只是组合中初等的一部分

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我一直有个问题[笑哭] 为什么我们要定义弧度制呢？为什么sin x的泰勒展开代入的x是弧度制的结果，如果我们定义其他类似的标准会不会sin x的泰勒展开形式又会不一样呢

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好的，你已经学会了组合数学，请试着解决以下问题：

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最喜欢的一集 最后面的平面图不过线就是利用了存在双射的两个集合大小相等的原理。这里的路径到路径的双射就是把最后一次过线后的路径对称，并且同时对称之后向右走变为向上走，向上走变为向右走，所以也不需要担心会有对称后走的规则不一样的问题 之后卡特兰数的应用也可以通过组合意义来转换到走路不过线。例如栈的岀栈序列数，我们令入栈一次记作 +1，岀栈一次记作 -1。显然 +1 要有 n 个，-1 也要有 n 个。于此同时，长为 2n 的含有 n 个 +1 和 n 个 -1 的且前缀和始终大于等于 0 的数列就可以与岀栈序列一一对应，因为我们不可能对空栈进行岀栈。而且我们给出的数列一定由若干个长为偶数的互不相交的子数列构成，每个子数列前一半都是 +1，后一半都是 -1。每个子数列对应的就是一段倒置的序列，每个数列对应的也就是一个合法岀栈序列了。 接着我们把 +1 看成向上走，-1 看成向右走，约束条件就变成了向上走不能比向右走少，也就是走路不过线了。 这种东西被称作反射容斥，JLOI2015 就有一道关于这个的题叫“骗我呢”（我还写了这道题的题解 qwq）。 通过列出计数类 DP 的转移方程再考虑转移方程的组合意义也是一种常见的 DP 优化方法。比如说栈那道题我们令 f_{i,j} 表示已经岀栈了 i 个数，已经入栈了 j 个数的方案数，那么就有 f_{i,j}=【i<=j】(f_{i,j-1}+f_{i-1,j})，这个式子和走路不过线的转移式是一模一样的，答案也都是 f_{n,n}，自然也就是相同的结果。 另外值得一提的是有些人不认为计数类动态规划是动态规划，因为计数类 DP 没有在解决最优化问题，只是在通过与动态规划相似的方式（即递推式）来计算答案而已。 ——发自一名省选考炸到十倍队线的蒟蒻，如果有错误欢迎指出[2025拜年纪·南北组_奏乐]

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从视频的后半段开始就听不懂了，感觉这段的节奏完全可以放慢很多

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补充一个北师大版教材关于组合数递推公式的证明 C(n，m)＝C(n-1，m-1)＋C(n，m-1) 即在m个里取n个 可以把m氛围m-1和1两组，有两种情况： ①在m-1组取n个，1组不取； ②在m-1组取n-1个，在1组取1个.[doge_金箍]

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视频中对于f(x)=xf(x)^2+1推导出f(x)的公式这一块儿，为什么f(x)能被看作一个未知数？它是一个函数、一种对应关系啊，并且自变量x还在等式中，凭什么能把f(x)看成一个未知数呢？

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刚学到高中数学里的排列组合，有这个视频入门真是太棒了。花了一个半小时，一点一点把这个视频啃明白的感觉真的爽，而且还解决了我困惑已久的特征根问题，感觉对数学的＂形式＂和＂结构＂的相似性有了更深的理解[Mygo表情包_Love][热词系列_三连][热词系列_三连][热词系列_三连]

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如果安全线是y=2 x，那么，从原点到（n,2n）有多少种路线呢？ 我枚举了一下，答案应该是C(3n,n)/(2n+1)，并且我猜测，如果安全线是y=kx则应该有C((k+1)n,n)/(kn+1)种路线。但是这似乎无法用对称的方式给出双射证明。如果用母函数，那么最后会化为一个关于f（x）的高次方程，难以求解。 希望有人能给出较为简洁的证明。

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半夜本来想借数学来催眠的，听着听着讲的太好却给我讲悟了，然后睡不着了[大哭]

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作为一个数竞生，这还是太专业对口了（ 稿子真的写得很不错，一些细微的点和有必要补充的知识都涉及到了，我能插入的点真的很少．．． 第一，关于组合数的定义，更权威的方法是用子集个数定义的。在一个n元子集中选一个m元子集，它的方法数就是组合数nCm（因为n个数里先选出m个数，选过的数不能再选，那么方法数是n(n-1)...(n-m+1)，然后和视频里讲的一样去重全排列m!就可以了），如果是这么定义的话，同底组合数相加是2的n次方就是个非常合理的事情了，集合的子集数目毕竟是皆知的。然后组合数用小括号的写法还是要说明一下，它和nCm的写法数字上下刚好是颠倒的，并且它的下面的可以塞很多个数（可重排列），只是这些数的和与上面的数要相等。 第二是关于双射（一一映射）的问题，双射也就是一个'既是单射又是满射'的映射，单射和满射都是有定义域和值域的大小关系的，对于映射f: A→B，单射有|A|≤|B|，满射有|A|≥|B|，双射射刚好卡在他们中间，|A|=|B|，于是对一个东西的计数就可以转化成与其有双射的另一个东西的计数。btw，算两次应该和它恰好相反，它是对一个东西的两面计算，由于它们的组合意义相同，故它们的值相同。

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这几天我重温了一下捡石子的游戏 就是那个有n个每次捡一个或两个石子谁捡最后谁赢的那个游戏 直接想是很难的 但如果你从一些小的数开始后马上就能发现规律了 3|n时是后手 否则是先手 然而我必须要说明 这里只能证明后/先手“有必胜的策略”，因为现实中真的不能排除先/后手故意放水让 对方获胜的情形[无语] 一些不正规的竞赛（如中国的某脑力综艺）正是用这种方法糊弄观众的[无语] 对局者心理：“反正我们都没有必胜的策略，我和你就随便敷衍一下吧[无语]”

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先看了一半儿内容，前12分钟的内容我之前通过一节半物理课的时间推出来过[呲牙]

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呜呜呜 今年的MaExpo前几天才看到。 2026年新年还有2026MaExpo吗 [妙啊]

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点进来之前以为是高中竞赛或者更难的组合，居然就是高中级的拓展内容，有点失望

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不是啊这大数据太牛逼了，我今天刷题遇到的问题，问了ds，b站居然晚上就推送了相关视频[笑哭]

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