【漫士科普】如何最简单且本质地理解欧拉公式？

漫士老师我有一个问题，如果在没有级数定义之前出现了e的i次方这种东西，那怎么在图像表达出来并且证明e的ix次方它是一个圆呢？[嘟嘟]

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我看这视频，通篇写着四个大字：数形结合

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我记得有个课程里推导了欧拉公式，然后说欧拉公式给人的启发是，原来指数位置不一定非得是实数，还能放复数。那能不能放一些其他乱七八糟的东西呢，比如矩阵。

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大脑空空的误入有文化的评论区

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8:48 事实上，前沿的物理学实验已经证明，虚数在量子力学中的应用是本质而必要的，复数绝不仅是信号处理中方便的工具[脱单doge]

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所以，为什么那个求导法则会适用于虚数[doge]

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但是这种方式依然是取巧的科普 up就像是条龙，观众骑在龙上飞了过去 但是想要成为龙，就必须一步一步走过去 欧拉公式的代数简单证明，是一种根本几乎不需要智力只需要计算的方法，这也就是走路 （简单的泰勒公式也不过是用求导和取零来消除一堆未知系数而已） 而当一个人写出sin与cos的麦克劳林级数时，只要他一个不小心把（-1）忘写了，便会出现一个新的函数 只要你是个正常人，就一定觉得这和三角函数有关，事实也的确如此，这是sinh与cosh，双曲三角函数 古人说纸上学来终觉浅，绝知此事要躬行 看这视频也是一样的，路要一步步自己走过去，才踏实 比如视频实际上已经为n倍角公式铺好了路，（当然还需要二项式展开），那么又有多少人凭自己能走过去呢

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我们是一个盲人，仅仅从一个角度区理解一个数学概念，永远不可能知道大象的全貌。所以特别不喜欢（例如）误导人们仅仅从向量变换的角度去理解矩阵的视频。欧拉公式之所以美丽，就是因为它很简洁并且可以从“一千”个角度去解释它，我希望知道所有这“一千”个角度。 P.S.: 特别认可 《All the Mathematics You Missed》 中的一句话（记不太清楚原话了）“数学家总是想知道什么时候两个东西是相同的”或者某某人说的“数学就是把一堆不同的东西取相同的名字”。 如果一个东西我们无法不能定义为相等，那减少点儿条件，他们就是相等的。比如我们认为全等的图形才是相等的，但是拓扑学家可以认为“圆形”、“椭圆”、“长方形”是同一个东西。 如果一个东西实在不能定义为相等，但是我们可以第一“等价”、“相似”、“同构” “同态”、“Monand”等。所以矩阵相似、映射函数等这些研究两个东西是否有一一对应关系的东西就很重要。 求抽象数学的视频（虽然看的人很少）。

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就喜欢这种知识从脑子里划过不留下丝毫痕迹的感觉【我是铁FIVE】

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作为一个高中生，我想说一下我的看法。前面都还可以较为轻松理解，但是到eix时，我觉得up应该没说清楚，这里的f（x）应当是一个复数，而x并不是实数轴的x而是f（x）所转的角度。不然的话f（x）是个圆，在高中来说应当是个不可求导的函数，那么所谓的f‘（x）也就不存在，也就意味着这个思路应当是错的。（错了请指正）[脱单doge]

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按照方程，是不是e^3πi也等于-1？

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对欧拉公式的学习再一次让我相信，最初把圆周率定义为周长与直径的比值，是一个美丽的失误。如果定义为周长与半径的比值，欧拉公式就绝对优美了，用up的结论就是pai一圈又回到1。不过天地本不全，优美也没有绝对，最终还是要约定俗成地便于使用。

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看到弹幕有人问为什么前进的弧长等于x？一开始我也不懂，后来思索片刻，有了一些想法： 首先，函数的导数等于函数的“增长速度”, i 的存在使得原本函数的增长不再局限于一维数轴的增长，而是使函数进入二维增长（可类似于二维运动过程，一个维度是函数大小的增长，另一个维度是函数方向的增长）。 在x=0（就像时间t=0）的时候，函数为1，这里确定了函数在二维中初始状态。 同时由于函数的导数为函数本身× i ,因此函数的“二维增长速度”始终垂直与函数，因此随着x（即t）的变化,函数本身大小没有发生变化，但是位置状态却发生了变化，最终效果就成了一个圆（函数的运动路径）。（这里应该很好理解） 关键点来了： 由于上面说的函数的“二维增长速度”始终垂直与函数，因此随着x（即t）的变化,函数本身大小没有发生变化，因此函数始终为初始的1。 因为函数的导数为函数本身× i ，因此导数大小也是1（i 用于改变方向）。导数意味着函数的“二维增长速度”，因此随着时间x(即t)的变化，函数大小没有发生变化，但是其位置变化以1进行着。 因此，在圆上的点，其速度为1，由s=v×t ，则点经过的弧度为1×X=X。 以上是我个人的一些看法，存在什么问题的话，我愿意倾听！（我语言表达可能不大好，字稍微多了点，请见谅！[脱单doge][脱单doge][脱单doge]）

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之前在3b1b看到过这种证明

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很多抽象的数学概念其实从物理学的角度理解就会直观很多。

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是我们发现了数学，而不是我创造了数学。它，原本就在那里……它，一直都在那里……等着你

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我这一届高中生教的只有复平面的向量关系，没有深入讲e的起源和欧拉公式，难怪数学老师说我们这一届为了完成学业不得不牺牲有趣的内容。 现在听了漫士的讲解，突然觉得枯燥的不是数学，而是课程，现在准大一的我听得津津有味，或许是漫士把我在高中没有深入了解的知识的遗憾给补上了吧[鼓掌]

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关于e的ix次方模长为什么恒等于1的问题，给大家分享一下证明过程：

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欧拉公式把0，1，e，π，i这几个数学最重要的常数联系起来，能不牛逼吗[笑哭][脱单doge]

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