【漫士】动听的音乐背后，藏着怎样的数学密码？

下次讲个傅里叶变换，用钢琴弹出人话来[doge]

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感觉应该从音乐发展史的角度解释 ①人们发现2的指数倍音之间很和谐很相似，于是将两个二倍音之间定义为一个八度 ②人们又发现1.5倍的音也比较和谐，于是就先把基础音乘以1.5倍得到一个新音，再把新音乘以1.5倍得到下一个音，但这样会超过一个八度，于是减半得到八度内的对应音，这样操作6次就得到了八度音。 在中国古代则是操作4次得到宫商角徵羽。 这就是五度相生律 ③人们很早发现，如果按照上述条件操作12次，就能回到一个很接近基础音的位置 ④很多乐器出现过，升调变成一个难题，因为严格按照五度相生律得到的5或7个音在等比放大后无法在乐器上找到相应的位置 ⑤为了解决这个问题，人们试图将一个八度平均化得到一个更加普适的音律，而十二平均律，是数量和音准两者都比较合适的音律。十二平均律中八度音的位置和正音都相差不大 ⑥因此实际上现代音乐的音律并不是最自然和谐的，但却是在和谐与灵活之间找到的最实用的道路

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音符跃方程， 数理织就旋律深， 协作绘星辰。[doge]

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韦伯费希纳定律在《数学的雨伞下》这本书里被提及过（我不确定是否用了这个名字，但这种现象是提及过的） 也就是说人，以及其它动物，对于这个世界的感知是“乘积式”而非“加和式”的 举个例子，同样是涨价5元，一件本来卖2000元的的商品涨价20元我们基本无感，而一件本来卖5元的商品涨价20元我们就会觉得“涨得太多”，这是因为前者只涨价1%，而后者涨价400%，尽管两者多给的钱都是20元 也就是说，我们是用乘法而非加法来感知这个世界的，和2000元的涨价20元对应的并非100元涨价20元，而是100元涨价1元，只有乘以一个相同的“涨价系数”（1.01），我们才觉得涨价幅度是一致的

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这里来解释一下为什么选择12平均律 1，1-20以内12平均律对5-limit JI近似程度最高，其次12平均律 2，五度相生律生成12次仅与根音相差一个毕达哥拉斯音分，即531441/524288 3，做乐器成本更低 4，12平均律调和225/224，81/80，64/63，531441/524288，这是19，31平均律无法做到的一点，同时12平均律也是中庸全音律 5，12平均律的小三度是19/16（相对近似），比19平均律的6/5的小三度更稳定（16为同线基频），听感上更能接受

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其实平时学点音乐还是好的，我编程都要借助音调升降方面的知识[doge]

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结尾那段小曲的作曲者来现身说法一下，其实结尾用的是（视频里展示的）每个大调的关系小调进行编写的，所以结尾本应该是全白键的“C大调”部分使用了#F，#G的黑键，因为它最后实际上是用到了a旋律小调。

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这下我的数学真是音乐老师教的了[脸红]

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音乐学科有一点像经济学，就是解释有余而预测不足。 当我们说巴赫是好听的之后，我们很容易用各种各样的方式，不管是数学还是历史，亦或是心理学、社会分析，来解释为什么这是好听的。有了生成式大语言模型的帮助，这会变得容易的多。 但是就像最好的经济学家也比不过巴菲特或者量化交易的机器，最好的音乐学家往往也难以预测小圈子之外的音乐发展。[沐霂小日常_打哈欠]

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稍微补充几点： 1.从民族音乐学视角上看，不是所有民族的音乐都是基于或者趋近于十二平均律的。 2.调不只有全全半全全全半的排列模式，理论上任何音程关系和一个指定的主音都可以构成一个调式，只不过有一些从未被使用过。现代教会调式的几个调就是在视频中的自然大调的音程结构基础上以C之外的音为主音构成的。 3.以八度、五度为调式构建的核心并不只是因为简单的频率比，有跨文化甚至跨物种的研究指出八度、五度关系的音普遍被认为“更相似”，其中八度相似性有更多证据支持，所以有时候也把音高按八度一个周期螺旋型排列以体现相隔八度的音之间的特殊关系。 4.五度圈的作用远不止视频中的那么多，以华萃康《色彩歌声》为代表，一批理论家以五度圈和量化方法为核心，发展了一整套和声理论来解释各种调式和和声相关的现象，有兴趣的可以看看陈文戈老师的这期视频BV1Uq4y1C7bj

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漫士讲得好好[打call]，本人学钢琴，弹熟后经常会尝试对音乐进行升调与降调，看看会有什么不一样的感受，以前看到一个“气突苏菊次郎的夏天”，看上去仅仅把原版降了一度但却有更强烈的感受，明明耳朵听上去中式，西式，还有苏联音乐有很大不同，但不知道耳朵为什么能分辨出他们之间的不同，看到这个视频稍有理解。不过本期视频受众估计会有点少，一次性将乐理四级的东西讲出来确实会让完播率下降，但是三连啦。 ( ´▽｀)

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之前读过一本书《哥德尔 埃舍尔 巴赫：集异璧之大成》讨论到数学 音乐 美术的关系 有兴趣大家可以啃啃

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高中生昨天做到这题，也是和音乐相关的，漫士老师有空的话能不能看下？感觉我看到的分析都不太严谨。

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所以音乐上那些符号是从数学带过去的吗？

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稍微学过一点点乐理和数论，分享一下我自己的一些思考，有什么不正确的地方欢迎大家指正！[给心心] 1. 十二平均律将一个八度内的音按照等比数列分成了12个音。如果用数字来表示各个音（C：0，#C：1，D：2......），并且忽略音高问题，就可以认为这12个音构成了一个Z12循环群，这个群上的加法是模12加运算，每“+1”的操作就对应于乐理上的“将某个音提高半音”。例如，5+7≡0(mod 12)，对应于在E(对应的数字是5)向上提高7个半音（上行纯五度），正好是C（0）的位置。 2. “调式”对应于Z12中满足特定音程关系的子集。比如自然大调满足“全全半全全全半”的音程关系，从Z12中‘0’（C）开始按照“上行小二度（半音）= +1（注意是模12加）”的原则构建这个调式就是{0，2，4，5，7，9，11}（CDEFGAB）。同样，以任何一个小于12的数字开头，按照这个法则都可以构造出这样的子集。“转调”就可以描述为对这个子集的所有元素加上同一个数n。 3. “五度相生”在这个循环群中可以描述为“7是Z12循环群的生成元（7个半音是纯五度）”，本质原因是7与12互素，所以7x可以遍历Z12循环群的所有元素。也就是说，分别取x=0，1，2，......，11，7x就可以依次变成0到11的所有数字。在乐理上表现为从任意的初始音出发，不断上行（或下行）纯五度（7个半音），就可以遍历所有不同唱名的音。5也与12互素，也能遍历这个循环群，但5和7模12下互逆元，+7和-5是等价的，在乐理上就表现为上行纯五度和下行纯四度是等价的，不断重复这样的操作都可以遍历所有唱名不同的音。此外，11和12也是互素的，但没有产生“七度相生”，我乐理学习的一知半解的就盲猜一下原因：乐理上上行大七度和下行小二度等价，数学上模12下+11和-1等价。由于小二度是不和谐音程，数学上11是x^2≡1(mod 12)的平凡根，所以用11来作为“生成元”就不如用7（纯五度）这样的和谐音程来描述得好。所以，所有的转调都可以被描述为将“将所有的音+7x”。 不得不说数学和音乐的碰撞真的太完美了太震撼了，5度相生背后暗藏着7、12互素这样的数学规律，上行纯五度和下行纯四度的等价暗含着5、7模12互逆的规律[点赞]

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想问一下cdef这些字母是怎么确定的呀？第一个固定下来的频率是什么

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乐理的理是理科的理[重返未来1999_赞]

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音乐是理解傅里叶变换最好的工具，怎奈何UP好像并无有意往这方面带。 而且，最前面讲和弦的时候，把频率也标在上面就好了，而不单单标个乐谱。

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想起上学期我选的通选课「音乐与数学」了[蔚蓝档案表情包_兴奋] 很有意思，开课的老师有一本同名的教材，可以看看 （顺带一提选这个课的似乎有不少打音游的×）

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