清华学长详解2024新高考数学压轴题，如何打开思维？

这题不会是计算机人出的吧。这种强调数列，分情况讨论，演绎逻辑的感觉真熟悉啊[笑哭]

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数论和离散数学要取代导数成为高考压轴题了

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我觉得你们都分析太复杂了@漫士沉思录 不要考虑什么同余什么的 要解题直接画图就能得到数列的递推关系dm=2(dm-1)-(dm-2)+2 （d数列表示可能的情况数）然后常规递推数列求解就可以 可惜我不会做视频 虽然发了过程可能表示的不清楚

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警惕ACM/OI渗透高中数学

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最怕的三个字，注意到[笑哭]

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这种就是单纯为了考察学生的数学思维，包括数感，逻辑推理能力和灵活变通能力。以往靠刷题训练的办法已经没用了，很支持这种考法，数学思维才是学数学的目的，对以后进入社会工作生活都有帮助

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我去，现在高考19题就这么难了吗[惊讶] 我记得高考数学好像是23个题吧，我们那时候19题基本就是送分题[笑哭]

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加一条注记: 在题目要求之外, 很容易证明删去的两项下标只能分别为模4余1和模4余2. 这是因为, 若满足条件, 则这些四项等差数列放在一起, 下标模4余1与模4余3的个数之差必为4的倍数, 下标模4余2与模4余0的个数之差必为4的倍数. 从而加上第三问所证明的结果, 可以严谨证明题中概率在m趋于无穷时的极限是1/8.

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这题的难度除了思路外，应该还有把过程数学语言化（对考生来说这是个不小的工程）。 希望有佬能把数学语言整理出来@漫士沉思录

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个人感觉这题出得不好，拿到题目除了枚举也没什么好的办法，有一种在试卷上搞科研的感觉，但考试是有时间限制的，这题更像是在考察考生们的基本功——能在做完前18题之后能剩下多少时间去在19题上枚举

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我已想到了一个绝妙的解法，但试卷太小，写不下来。

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警惕构造题潜入高考[doge]

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初二oier自己竟然写出来了[doge] 不得不说高考开始偏思维化了[doge]

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实际上，本质就是： ● 在考虑子序列的情况下，商环 ℤₙ＝ℤ/nℤ，满足 n | m。 ◎ 当 n＞1 时，前 4m＋2 个自然数，在 ℤₙ 的等价类 中的个数必然如下（令 k＝m/n）： 0̅ 和 1̅ 含有 4k ＋ 1； 剩下 2̅ ... (n-1)̅ 含有 4k； 而对于 4k＋1 只要去掉 1，5，..., 4k＋1 ，总共 k＋1 个位置的 任意一个数字 就可以了。 这样 0̅ 和 1̅ 共有 (k＋1)²＝(m/n＋1)² 种可能的组合，而 另一方面， C₄ₘ₊₂²＝(4m＋2)(4m＋1)/2＝(2m＋1)(4m＋1) 故对于每种 ℤₙ 有概率， Pₘ,ₙ＝(m/n＋1)²/(2m＋1)(4m＋1) 例如： 当 m＝3 时，n 可取 1 或 3，取 n＝3 时，ℤ₃ 如下： ⓪❸❻❾⑫ ①❹❼❿⑬ ❷❺❽⓫ 其中，（①, ⑫)＝(2, 13)，此时， P₃,₃＝4/26 ◎ 当 n＝1 时（k＝m），并且只有 0̅ 这一个等价类，有 4k＋2 个数字，此时 ， 去掉4k＋2位置的， 则 在 1，5，..., 4k＋1 ，总共 k＋1 个位置中 再任取一个 即可； 两个数字，或在 (1, 2), (5, 6), ... (4k＋1) 去掉4(k-1)＋2位置的，则在 1，5，..., 4(k-1)＋1 ,总共 (k-1)＋1＝k 个位置中 再任取一个 即可； ... 综上，总共有，(k＋1)＋k＋...＋1＝(k＋2)(k＋1)/2＝(m＋2)(m＋1)/2 种取法，此时概率是： Pₘ,₁＝(m＋2)(m＋1)/2(2m＋1)(4m＋1) 例如： P₃,₁＝10/91

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up的题解还是稍显复杂了，不太适用于考场上的普通高中生。 其实这题并不需要多少数学直觉，出题人已经通过前两问，提示了第三问的思路。 首先第一问，可以拓展思考一下，不难得出：当i mod 4=1时，任意j > i且j mod 4=2都可以取得(i,j)-可分数列，这个证明比较显然，就不提了。 对于第二问，可以拓展为：对任意m >= 2，都有(2,4m+1)-可分数列。这个结论的证明，也并不需要up讲到的错位图，只需要列举几个m，不难得出，该形式的可分数列的等比都是m，用这个等比m去划分数列即可证得。 再基于第二问的拓展结论，易证得：当i mod 4=2时，任意j >= i+7且j mod 4=1都可以取得(i,j)-可分数列。 现在考虑第三问，对于任意m，分两种形式讨论： 基于第一问的拓展结论，当i=4x+1，0 <=x <= m ，有m+1-x个j符合此结论的形式，把每个x取值下的可分数列个数相加，总和为：(m+2)(m+1)/2。 基于第二问的拓展结论，当i=4x+2，0 <=x <= m-2，有m-1-x个j符合此结论的形式，把每个x取值下的可分数列个数相加，总和为：(m-1)m/2。 把这两种形式下的个数相加，得m^2+m+1，已经可以证得p > 1/8，不需要再证明i=4x+3和i=4x的情况了。而过程中所用到的结论及其证明，都是普通高中生可以完成的。 此题作为高考题，好就好在，出题人通过前两问，提示了第三问的两种形式，只要顺着出题人给的思路拓展，普通高中生也可以答出第三问，而不需要什么数学直觉。如果直接把第三问抛出来，就是竞赛题了，需要一定的数学直觉，不适合作为高考题。 up既然解析高考题，建议up站在普通高中生的角度思考，而不是作为一个博士生高屋建瓴，这不具有可复制性，对普通高中生也没有帮助。

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在竞赛化的道路上一路狂奔啊，看来像我当时一样不写作业也能考得不错的时代过去了

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计算机学生表示，这不像数学题，倒像是数据结构题。等差数列不就是为了用循环语句吗[笑哭]就跟快速排序那样，移动过来移动过去。这题目出的很好，不知道是不是某些大厂例如微软的面试题。[脱单doge]

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感觉漫士可以让听者很直观的理解到解题过程，但是对于第一次看到此题的考生可能最缺乏的是解题思路或是切入点，感觉漫士可以提供自己分析此题的思路以及想法

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对中学生来说，视频后半部分最重要。 很多人水平不够，还放不下这种题目，这实际上是应试的大忌。 我一看这个题目，思路能想出来，但是，考场上的时间肯定不够。 所以一般我只会尝试前两问，最后一问看时间安排，我会留时间检查一遍前面有些那不太准的答案重新做一下。如果检查完了还有时间，会再冲击一下最后一问。

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