[证毕QED]欧拉公式和矩阵指数有什么关系?

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Description
视频中主要使用了复数的矩阵表示, 当我们把相应的矩阵看做平面上的线性算子时, 即可表示平面上的伸缩, 旋转等操作, 而相应的复数乘法也可以表示复平面上的伸缩, 旋转, 这是平面几何中解题的常用技巧, 而且也是可视化复分析的重要方法. 矩阵指数与单参数群, 李代数, 微分方程等非常多的领域都有联系, 视频中的内容只是九牛一毛. 对于复数的推广, 即四元数也有矩阵表示形式, 但是其矩阵元素是复数, 相应的也有四元数版本的欧拉公式, 如果以后有机会也可以讲一讲, 这些内容也与四维球面上的拓扑群有有趣的联系. 视频中出现了一个同构, 但其实是不严谨的, 因为我没有说明是什么结构之间的同构, 而分别把这个同构看做群同构, 实数域上的向量空间的同构, 或是域同构等时, 都可以推出很多有趣的联系, 但视频所限, 无法全部呈现, 感兴趣的观众还请自行学习相应的课程. 

BGM: 遠藤ナオキ - NEO SKY, NEO MAP! (ピアノアレンジVer.)

Comments

Mashilor 2023-05-23

有些人把这个一波放的截图跟祖先灵位似的供着,你猜B站评论发图片的功能为啥叫“笔记”

♥ 44 ↩ 2

摆烂-仙人 2023-05-23

那个矩阵的形式跟坐标旋转公式一样

♥ 11 ↩ 4

风铃不愿倾听 2023-05-23

号养成了[doge]

♥ 7

史蒂芬·霍金 2023-06-16

我们可以证明,这种二阶旋转矩阵和复数集之间存在同构的关系。通过的是指数映射来对应。用群论的语言来讲,SO(2)≌S^1≌R/2πZ。

♥ 5

自然造字师斯庙算多 2023-05-24

要是能感觉到不一样,那巧了,格罗滕迪克就是深挖这个(指相似性)的行家,而最近的slogan叫univalence,定义是等价就是一样,你甚至能从翻译后的汉语构词法里找到数学灵感。形式上的无法区分(一样)来源于操作中的相同效果(等价)。所以去玩HoTT吧,你会发现证明和说话也没有什么区别,把数学语言当母语用。

♥ 5

暮色苦力怕 2023-05-23

酉群与辛群

♥ 5 ↩ 1

KubrobaKAito 2023-05-23

[吃瓜]

♥ 3

Voyagerea 2023-06-11

嗯,看着那么像e上面顶了个泡利矩阵

♥ 1 ↩ 1

满草地亮晶晶的虫眼 2026-03-29

有没有叉乘的指数?

二果erguo 2023-10-06

20秒的三个公式不明白,为什么能互推呢?哪位大哥帮忙解释啊下?

↩ 1

邮差_周末_不上班 2023-08-10

坦诚地讲,我学习的动力有一部分来自于对制作这种可视化推导视频的渴望

liurui013 2023-06-11

牛啊,以前都没想到。看完评论区兄弟的留言,又要买一本artin了[doge]

Homology_Group 2023-06-10

artin书里见过

糖果屋的数码 2023-06-07

真有意思,讲-1 顺时针旋转,或者将i 逆时针旋转得到i~2=-1. 真有意思,哈哈哈,可惜,写书的人太多傻子,把这么有趣的数学变成这样。

MathArtistC 2023-05-30

草neo sky neo map

繫いだ手と手が 2023-05-29

这个和线性表示有关吧

↩ 1

sglのSakura 2023-05-28

终于更新了[脱单doge]