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Description
数一146,带大家领略定积分比大小的顶级思维!这是群友昨天的题,凯哥直接讲出了这一类题的通用解法,压根不用动笔,一眼看出正负!并且还讲清楚了我这个解法的几何意义,零基础也能听懂!

Comments

ZlZ-zzw 2026-04-21

凭感觉都能做吧,刚开始sin小于cos,分母小,后面sin大于cos时,分母大,相当于cos优势时分母小增加优势,cos劣势时分母大缩小劣势,所以c大于s

♥ 152 ↩ 15

dianing 2026-04-21

有点乱序不等式的那个意思。sin递增,cos递减,二者的区间积分原本相同。同时乘以一个递减的序列,相同单调性的值更大。

♥ 49 ↩ 5

现代微积分 2026-04-21

排序不等式的积分形式,用排序不等式和朴素的定积分定义即可证明[doge_金箍]

♥ 39

秋水共长天一色哈 2026-04-21

一眼看出,其实很容易一眼看出,为什么呢,嘻嘻 其一,sinx和1/1+x²单调性相反吧,cosx和11+x²单调性相同吧,单调性相同的在一起是不是更容易增加 这个原理被称为,切比雪夫不等式 进一步我们有0到π/2对sinx和cosx积分相等 其二,当我们不知道切比雪夫不等式的时候(大一做此题的时候真不知道,没乱说),我们还会定积分都几何意义,sinx-cosx=0临界是x=π/4以前cosx大,并且在这时候的1/1+x²是要比π/4之后cosx占主导的时候的1/1+x²要更大的 其三,如果看不懂几何意义,也不会切比雪夫不等式,那么应该怎么办呢,嘻嘻,还有经典办法两个呢 经典办法一,对I-J或者J-I利用区间再现公式的变体,区间拆半公式,来让我理一下,区间拆半在是把a,b变成a,a+b/2或者a+b/2,b,被积函数变成f(x)+f(a+b-x),那么问题来了,本质是什么呢,其实就是分段,对其中一段做换元法,拆半之后,其实就可以比较出来了 经典方法二,就是,甚至不会区间拆半公式 ,那就返璞归真,利用sinx-cosx在π/4临界这个特性,在π/4做拆分,然后换元法,然后。。。。

♥ 24 ↩ 4

Again-zzz 2026-04-22

两种方法[星星眼]

♥ 18 ↩ 2

考研竞赛凯哥 2026-04-21

凯哥强调一下:评论区的很多粉丝,都提到了利用“sinx和cosx的单调性”来判断,你们的直觉是很准的!你们的这个方法,就是大名鼎鼎的【排序不等式】,也就是“同序和>乱序和>反序和”,这属于高中数学竞赛的内容。而凯哥视频里讲的,也是非常通用的方法,“通过换元化成对称区间→把被积函数看成一个决定正负的奇函数,再乘以一个决定伸缩比例的正值函数”,凯哥这个方法,应用范围非常广,而且毫无学习门槛,小学思维就能学会!

♥ 12

沧桑泪奔 2026-04-21

我来补个证明吧,正的部分没有负的部分大还是比较显然的

♥ 10 ↩ 1

蜘蛛丶纸牌 2026-04-21

在你巅峰期的时候我发挥不好,在我巅峰期的时候你又失败了,那我们俩就爱人错过了,这就是左边那个定积分小的原因,跟2×2+1×1>2×1+1×2是一个道理,小学思想[doge]

♥ 19 ↩ 8

忆一时无一世 2026-04-21

直觉能感觉出来后者大,因为在X偏小的时候后面的函数远远大于前面的函数,不过这个不严谨

♥ 7 ↩ 2

考研竞赛凯哥 2026-04-21

这题不仅经典,而且方法不唯一,还有这些解法: 1. 拆区间以后通过换元统一区间 2. 直接用排序不等式的结论 3. 凭感觉

♥ 7 ↩ 1

30托尔03 2026-04-22

凯哥你好,我前段时间看完了你在B站上讲的关于不定积分计算,我觉得的很不错。后续也打算看你讲的中值定理,但是看你b站上面也有一个很全面的免费课,请问一下,在B站上面发的这些课和你全程班的课到底具体有什么区别

♥ 5 ↩ 2

苏酥江颜 2026-04-29

这题有很多种解法: 一是衰减效率,cosx的大头都在前面,后面很少,因此整体在区间衰减比较慢,sinx大头都在pai/4之后,因此衰减的快; 二是做差+定积分的含义,cosx-sinx在0,pai/4以及pai/4,pai/2的面积是刚好抵消的,而1/1+x的a次是递减的,因此整体的面积是前半部分>后半部分,也就是整体在区间为正; 三是做差+积分不等式的推论,可以拆区间,再把1/1+x的a次提积分外面,也就是第二种方法的严格论证; 四是作差,然后白嫖一个1/(1+pai/4),使得整个式子在区间内都是同号的,随便抽一点就可以论证符号为正; 五是排序不等式,大大-小小>大小-小大

♥ 4

小苏敲可爱 2026-04-21

这个可以用切比雪夫不等式秒杀[doge_金箍][doge_金箍]https://b23.tv/BV1QY411V7h4

♥ 4 ↩ 2

髓玉_ 2026-04-21

拆项,一定有一个正负面积相等的,可视为主要项,一定有一个影响大小系数的,可视为权重项,这个权重项通常是单调的,在相应区间内,一定可以分出一个大小,对正向影响的权重相对大,结果就正,对负向影响的权重相对大,结果就负 在第三个例题中,sinx和cosx才是面积相等的主要项,0到π/4时,sinx小于cosx,视为负,π/4到π/2时,sinx大于cosx,视为正。1+x²递增,影响力会越来越大,所以1+x²影响的权重负向小于正项,对应倒数影响权重负向大于正项,整体倾向于负,所以I小于J,和凯哥讲的不一样,但是殊途同归哈

♥ 3

用一点光温暖孩子的心 2026-04-21

来,秒杀

♥ 8 ↩ 3

你是不是香嗣 2026-05-28

怎么不知不觉就做出来了?

♥ 2

devoured丶 2026-05-09

和这个问题异曲同工哦

♥ 2

单走一个6得 2026-04-22

积分中值定理的推广也可以做

♥ 2 ↩ 1

-----诚-- 2026-04-21

之前都凭感觉写的,打卡第33天[吃瓜]

♥ 2